1.2.3 全称量词和存在量词（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

1.2.3　全称量词和存在量词(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义，熟悉常见的全称量词和存在量词． 2．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 逐点清(一)　含有量词的命题 [多维度理解] 1．全称量词和存在量词 命题中的“每一个”和“有一个”叫作量词，两者分别叫作全称量词和存在量词． 2．全称命题 “任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号“∀”表示．语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称命题．用符号简单地表示为∀x∈M，p(x)． 3．特称命题 “存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号“∃”表示．语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作特称命题．用符号简单地表示为∃x∈M，p(x)． 微点助解 (1)有些全称命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来． (2)要判定全称命题“∀x∈M，r(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证r(x)成立；要判定其是假命题，只需举出一个反例即可． (3)要判断特称命题“∃x∈M，s(x)”是真命题，只需要在限定集合M中找到一个元素x0，使s(x0)成立即可；要判断一个特称命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明s(x)都不成立． [细微点练明] 1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是(　 ) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，使得x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 解析：选C　“∀x∈R，x2>3”是全称命题，改写时应使用全称量词． 2．下列命题中，含有存在量词的是(　 ) A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形 C．一切三角形的内角和都等于180° D．任意两个等边三角形都相似 解析：选A　A选项，存在一个平行四边形是矩形含有存在量词；B、C、D选项，含有全称量词，不含有存在量词． 3．“关于x的不等式ax＋b>0有解”等价于(　 ) A．∃x∈R，使得ax＋b>0成立 B．∃x∈R，使得ax＋b≤0 成立 C．∀x∈R，ax＋b>0成立 D．∀x∈R，ax＋b≤0成立 解析：选A　“关于x的不等式ax＋b>0有解”等价于“∃x∈R，使得ax＋b>0成立”． 4．(多选)下列命题是全称命题的是(　 ) A．负数的绝对值大于0 B．所有的菱形都是平行四边形 C．负数的平方是正数 D．∃x∈R，x2－1>0 解析：选ABC　对于A，负数的绝对值大于0即所有负数的绝对值大于0，根据全称命题的定义知，该命题是全称命题；对于B，所有的菱形都是平行四边形，根据全称命题的定义知，该命题是全称命题；对于C，负数的平方是正数即所有负数的平方是正数，根据全称命题的定义知，该命题是全称命题；对于D，∃x∈R，x2－1>0，根据特称命题的定义知，该命题是特称命题． 逐点清(二)　全称命题与特称命题的真假判断 [典例]　判断下列命题的真假． (1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示． (2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (3)存在一个实数x，使得方程x2＋x＋8＝0成立． (4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0. (5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2. [解]　(1)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示． (2)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形． (3)是假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31＜0，故方程无实数根． (4)是真命题，x＝2或x＝1都能使x2－3x＋2＝0成立． (5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立． [方法技巧] 判断全称命题、特称命题真假的思路 [针对训练] 1.(多选)下列命题，是特称命题且为真命题的是(　 ) A．中国所有的江河都流入太平洋 B．有的四边形既是矩形，又是菱形 C．存在x∈R，有x2＋x＋1＝0 D．有的数比它的倒数小 解析：选BD　对选项A，“中国所有的江河都流入太平洋”是全称命题，排除；对选项B，“有的四边形既是矩形，又是菱形”是特称命题且为真命题，比如正方形，正确；对选项C，“存在x∈R，有x2＋x＋1＝0”是特称命题且为假命题，因为x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，排除；对选项D，“有的数比它的倒数小”是特称命题且为真命题，比如，正确． 2．(多选)下列命题为真命题的是(　 ) A．任意两个等边三角形都相似 B．所有的素数都是奇数 C．∀x∈R，x＋|x|≥0 D．∃x∈R，x2－x＋1＝0 解析：选AC　对于A，因为所有的等边