2.3.2 一元二次不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法． 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决． 课时目标 第 2 课时　一元二次不等式的应用 (强基课—梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 课堂环节 题点研究·迁移应用融会贯通 2 (一)简单的分式不等式的解法 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 微点助解 常见分式不等式的转化 先将分式不等式移项、通分，整理成一边为0的形式，再等价转化为整式不等式求解(设f(x)＝ax＋b，g(x)＝cx＋d)，即 解析：原不等式⇔(x－1)(x－2)<0，解得1<x<2. 答案：{x|1<x<2} (二)一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ 2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． [基点训练] 1．若方程x2＋ax＋1＝0的解集是∅，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可得Δ＝a2－4<0，所以－2<a<2. 答案：(－2,2) 2．对∀x∈R，不等式x2＋2x＋m>0恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意可得Δ＝22－4m<0，所以m>1. 答案：(1，＋∞) 题型(一)　简单分式不等式的解法 [典例]　解下列不等式： 课堂环节　 题点研究·迁移应用融会贯通 [方法技巧]　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 题型(二)　一元二次不等式恒成立问题 [典例]　对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围． [变式拓展] 1．在本例中，是否存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 2. 在本例中，把条件“∀x∈R”改为“x∈ [2,3]”，其余不变，求m的取值范围． [方法技巧] 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．　　 题型(三)　一元二次不等式的实际应用 [典例]　某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [解]　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)， 整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． [方法技巧] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式．　　 [针对训练] 　在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问谁超速行驶应负主要责任． 解：由题意列出不等式s甲＝0.1x甲＋0.01x>12， 解得x甲<－40或x甲>30，s乙＝0.05x乙＋0.005x>10，解得x乙<－50或x乙>40. 由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． “[阶段质量评价] 第1、2章　集合与逻辑　一元二次 函数、方程和不等式” (单击进入电子文档) “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（十六）” (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0； (2)<0⇔f(x)·g(x)<0； (3)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x