2.3.1 一元二次不等式及其解法（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

1.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 课时目标 2.3　一元二次不等式 第 1 课时　二次函数与一元二次方程、不等式 (强基课—梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 课堂环节 题点研究·迁移应用融会贯通 2 (一)一元二次不等式的概念 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 定义 只含有一个________，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 未知数 2 [基点训练] 判断正误： (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式．(　 ) (2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式．(　 ) (3)不等式－x2－2x＋3>0是一元二次不等式．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ (二)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝____ 没有实根 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ____________ ____ 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 _____________ ∅ _____ R {x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ 续表 微点助解 (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集； (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 答案：D　 解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R. 答案：C　 3．若关于x的不等式－x2＋4x>2mx的解集为{x|0<x<2}，则实数m的值为(　 ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案：B　 解析：根据题意x＝0和x＝2是方程－x2＋4x＝2mx的实数根，所以－4＋8＝4m，解得m＝1. 故选B. 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. 课堂环节　 题点研究·迁移应用融会贯通 [解]　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图1所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0， 函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图3所示． 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． 　 　 [方法技巧]　解一元二次不等式的一般方法和步骤 [针对训练] 解不等式－2<x2－3x≤10. 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)． [方法技巧]　解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次项系数 二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数 判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系 写出解集 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 [提醒]　对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算 [针对训练] 解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小． ①当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)． ②当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4. ③当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x<a＋1. 综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}， 当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x<a＋1}． 题型(三)