2.2 从函数观点看一元二次方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数． 2．了解函数的零点与方程根的关系． 3．借助二次函数的图象，了解一元二次方程与相应函数的联系． 课时目标 2.2　从函数观点看一元二次方程 (概念课—逐点理清式教学) 1 2 目 录 3 逐点清(一)　函数的零点 逐点清(二)　一元二次方程根与系数的关系 逐点清(三)　二次方程根的分布问题 2 逐点清(一)　 函数的零点 [多维度理解] 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系如 2．二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的_______叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 实数x [细微点练明] 1．判断正误： (1)函数y＝x2－2x＋1的零点是(1,0)．(　 ) (2)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实数根，则b2－4ac>0.(　 ) (3)一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有实数根．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　 ) A．2 B．－2 C．±2 D．3 答案：C　 解析：因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2. 3．求下列函数的零点． (1)y＝4x2－25； (2)函数y＝ax2－bx－c的图象如图所示； 逐点清(二)　 一元二次方程根与系数的关系 2．已知关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两实数根为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝3，则m的值为(　 ) A．－3 B．1 C．－3或1 D．－1或3 答案：A　 逐点清(三)　 二次方程根的分布问题 [典例]　当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上． [解]　①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意． ②当a>0时，设y＝ax2－2x＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， [变式拓展] 若关于x的方程ax2－2x＋1＝0 至少有一个正根，求实数a的取值范围． (3)当a<0时，因为当x＝0时，y＝ax2－2x＋1＝1，故函数y＝ax2－2x＋1与x轴一定有两个交点，故方程ax2－2x＋1＝0必有一个正根． 综上，实数a的取值范围是(－∞，1]． [方法技巧] 解决二次方程根的分布问题应注意以下几点 (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑以下几个方面： ①开口方向； ②Δ与0的大小； ③对称轴与所给端点值的关系； ④端点的函数值与零的关系．　　 [针对训练] 　已知y＝x2＋(2a－1)x＋a－2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围． “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（十四）” (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不等的实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 (3)y＝x2－4x＋10. 解：(1)令4x2－25＝0，得4x2＝25. 两边都除以4，得x2＝，解得x1＝，x2＝－. 所以函数y＝4x2－25的零点为，－. (2)因为函数的图象与x轴交点的横坐标为－1和3. 所以该函数的零点为－1和3. (3)令y＝x2－4x＋10＝0. ∵a＝1，b＝－4，c＝10， Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×10＝8>0， ∴x＝＝＝2±， ∴x1＝2＋，x2＝2－. ∴函数的零点为2＋，2－. [多维度理解] 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝. [细微点练明] 1．若方程x2－2x－1＝0的根为x1，x2，则x1x2－(x1＋x2)的值为(　 ) A．－3 B．1 C．2 D.－2 答案：A　 解析：∵x2－2x－1＝0，即a＝1，b＝－2，c＝－1，∴x1x2＝＝－1，x1＋x2＝－＝2，∴x1x2－(x1＋x2)＝－1－2＝－3. 解析：根据题意得Δ＝[－(2m－1)]2－4m2≥0，解得m≤， ∵方程的两实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2， ∵(x1＋1)(x2＋1)＝3， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝3，即m2＋2m－1＋1＝3， 整理得m2＋2m－3＝0，解得m1＝－3，m2＝1， ∵m≤，∴m＝－3. 3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k