课时跟踪检测13 基本不等式的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

5 / 5 课时跟踪检测（十三） 基本不等式的应用 A级——综合提能 1．若x<0，则x＋－2有(　 ) A．最小值－1 B．最小值－3 C．最大值－1 D．最大值－3 解析：选D　因为x<0，所以x＋－2＝－－2≤－2－2＝－3，当且仅当－x＝，即x＝－时，等号成立，故x＋－2有最大值－3. 2．函数y＝3x2＋的最小值是(　 ) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 解析：选D　y＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时，等号成立，故选D. 3．已知正数a，b满足a＋b＝2，则的最小值为(　 ) A．36 B．42 C．49 D．6 解析：选C　正数a，b满足a＋b＝2，则有＝＝＝37＋＋≥37＋2＝37＋12＝49，当且仅当 ＝ 且a＋b＝2，即b＝，a＝ 时，等号成立，即的最小值为49. 4．(多选)若a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，则下列说法正确的是(　 ) A．ab的最大值为 B.的最小值是4 C．4a－的最大值为2 D.＋的最小值为3＋2 解析：选ACD　对于A，因为a＋b＝1，所以ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以ab的最大值为，故正确；对于B，因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，所以a≠1，b≠1，所以a＋>2当且仅当a＝，即a＝1时，等号成立，故等号不取，b＋>2当且仅当b＝，即b＝1时，等号成立，故等号不取，所以>4，故错误；对于C，因为a＋b＝1，所以a＝1－b，所以4a－＝4－4b－＝4－≤4－2＝2，当且仅当4b＝，即b＝时，等号成立，故正确；对于D，(a＋b)＝1＋＋＋2≥2＋3＝3＋2，当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时，等号成立，故正确． 5．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________. 解析：因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤2＝2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值. 答案：　 6．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________． 解析：由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 答案：32 7．已知正数x，y满足(x－2)(y－1)＝2，若不等式x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：因为x>0，y>0，则(x－2)(y－1)＝xy－(x＋2y)＋2＝2，所以x＋2y＝xy， 所以＋＝1. 所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝时，即x＝4，y＝2时，等号成立． 又x＋2y>m恒成立，所以m<8. 答案：(－∞，8) 8．设a，b为正实数，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 解：(1)∵a，b为正实数，且＋＝2≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，即ab≥，当且仅当a＝b时，等号成立． ∵a2＋b2≥2ab≥2×＝1，当且仅当a＝b时，等号成立， ∴a2＋b2的最小值为1. (2)∵＋＝2，∴a＋b＝2ab.∵(a－b)2≥4(ab)3， ∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3， 即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0. ∵a，b为正实数，∴ab＝1. 9．如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫作“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”． (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式； (2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？ 解：(1)T＝＝＝＋＋. (2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小． ∵T＝＋＋≥2＋＝， 当且仅当＝，即v＝20时取等号． ∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大． B级——应用创新 1．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题．如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为(　 ) A. B．1 C．2 D．6 解析：选C　设该直角三角形的斜边为c＝2，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝8.因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a