课时跟踪检测12 基本不等式的证明（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

4 / 4 课时跟踪检测（十二） 基本不等式的证明 A级——综合提能 1．(多选)下列条件可使＋≥2成立的有(　 ) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 解析：选ACD　根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，>0. 2．下列不等式中正确的是(　 ) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 解析：选D　若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误； 若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D正确． 3．当x>0时，x＋的最小值为(　 ) A．3 B. C．2 D．3 解析：选D　x＋≥2＝3(当且仅当x＝时等号成立)． 4．设m＞1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为(　 ) A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q 解析：选C　因为m＞1，所以P＝m＋＝m－1＋＋1≥2＋1＝5＝Q.当且仅当m－1＝，即m＝3时，等号成立，故选C. 5．设M＝3，N＝n3＋＋6，对于任意的n>0，M，N的大小关系为(　 ) A．M≥N B．M>N C．M≤N D．不能确定 解析：选A　M－N＝3－n3－－6＝n3＋＋＋3n－n3－－6＝3－6，∵n>0，∴n＋≥2＝2，当且仅当n＝1时，等号成立，∴3－6≥0，∴M≥N. 6．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是__________. 解析：当x>2时，＋(x－2)≥2＝6，等号成立的条件是 ＝x－2，即(x－2)2＝9，解得x＝5(x＝－1舍去)． 答案：x＝5 7．已知a＞b＞c，则 与的大小关系为________________． 解析：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0， 所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立． 答案：≤ 8．设x＞0，则3－3x－的最大值是________． 解析：∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．∴－≤－2，则3－3x－≤3－2. 答案：3－2 9．已知a，b，c都是非负实数，试比较 ＋＋与(a＋b＋c)的大小． 解：由≤ ，得 ≥(a＋b)． 同理得 ≥(b＋c), ≥(a＋c)． 所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)． 故＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 10．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋. 证明：∵a>0，b>0，c>0，∴≥，≥，≥.∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c>＋＋. B级——应用创新 1．某工厂第一年产量为A，第二年产量的增长率为a，第三年产量的增长率为b，这两年产量的平均增长率为x，则(　 ) A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 解析：选B　∵这两年产量的平均增长率为x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)． ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，a>0，b>0. ∴1＋x＝≤＝1＋. ∴x≤，当且仅当1＋a＝1＋b，即a＝b时，等号成立． 2．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式一定成立的是(　 ) A．a＋b＋≥2 B.2≤ C.≥ D．(a＋b)≥4 解析：选ABD　因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2 ＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时，等号成立，故A一定成立．由作差比较法，－＝≥0，可知2≤，故B一定成立．因为a＋b≥2 >0, 所以≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故C不一定成立．因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故D一定成立． 3．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3.∵a，b，c为正数，∴＋≥2，当且仅当a＝b时，等号成立； ＋≥2，当且仅当a＝c时，等号成立； ＋≥2，当且仅当b＝c时，等号成立． 从而＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． ∴＋＋－3≥3， 即＋＋≥3. 4．基本不等式≥(a>0，b>0)可以推广成基本不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为 ≥≥≥(a>0，b>0)． (1)证明不等式≥； (2)上面给出的基本不等式链是二元形式，其中≥(a>0，b>0)指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想． 证明：(1)由题意可知，a>0，b>0，则>0，>0. ∴·＝＋＋＋≥1＋2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立． ∴≥. (2)要证 ≥(a1>0，a2>0，a3>0)，只要证≥. 即证3a＋3a＋3a≥(a1＋a2＋a3)2. ∵(a1＋a2＋a3)2＝a＋a＋a＋2a