4.2.2 对数的运算性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

32 / 146 4．2.2　对数的运算性质(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解对数的运算性质，能熟练运用对数的运算性质化简求值． 2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． (一)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 恒等式：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0)． 微点助解 1．对数的运算性质 (1)对数运算性质的语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”． (2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算． (3)注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义． log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的，log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的． 2．对数运算中的常用结论 已知a＞0，且a≠1. (1)loga＝logaM－1＝－logaM(M＞0)； (2)loga＝logaM＝logaM(M＞0，n，p∈N*，p，n＞1)； (3)推广：logaN1＋logaN2＋…＋logaNk＝loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0)． [基点训练] 1．计算log84＋log82等于(　 ) A．log86 B．8 C．6 D．1 解析：选D　log84＋log82＝log88＝1. 2．计算log510－log52等于(　 ) A．log58 B．lg 5 C．1 D．2 答案：C 3．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则lg 的值为(　 ) A．a－b2 B．a－2b C. D. 解析：选B　∵lg 3＝a，lg 7＝b，∴lg ＝lg 3－lg 49＝lg 3－2lg 7＝a－2b. (二)换底公式 1．对数换底公式 logaN＝(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)． 2．推论 (1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)． (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 微点助解 (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义． (2)运用换底公式可以改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题来进行化简、计算和证明． (3)实际应用换底公式时，底数究竟换成什么要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数． [基点训练] 1．计算log92×log43＝(　 ) A．4 B．2 C. D. 解析：选D　log92×log43＝×＝×＝. 2．若lg 3＝a，lg 2＝b，用a，b表示log43＝________. 解析：log43＝＝＝. 答案： 题型(一)　对数运算性质的应用 [典例]　求下列各式的值． (1)；(2)(lg 5)2＋lg 2×lg 50； (3). [解]　(1)原式＝ ＝＝. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 2＋lg 5)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. (3)原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－1. [方法技巧] 对数式化简或求值的常用方法和技巧 (1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是： ①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； ②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差)． (2)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简． (3)当真数是形如“±”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．　　 [针对训练] 1．(多选)若10a＝4,10b＝25，则(　 ) A．a＋b＝2 B．b－a＝1 C．ab＞8(lg 2)2 D．b－a＜lg 6 解析：选AC　∵10a＝4,10b＝25，∴a＝lg 4，b＝lg 25，∴a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，选项A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg>lg 6，选项B、D错误；ab＝2lg 2×2lg 5＝4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4＝8(lg 2)2，选项C正确． 2．计算： (1)2(lg )2＋lg ×lg 5＋； (2)log535＋2log－log5－log514. 解：(1)原式＝lg ×(2lg ＋lg 5)＋＝lg ×(lg 2＋lg 5)＋(1－lg )＝lg ＋1－lg ＝1. (2)原式＝log5＋2log2＝log553－1 ＝3－1＝2. 题型(二)　对数换底公式的应用 [典例]　已知