4.2.1 对数的概念（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

32 / 146 4．2.1　对数的概念(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 要准确把握对数的定义，以及ab＝N(a>0，且a≠1)⇔logaN＝b的等价关系，学会将对数与幂进行相互转化．会进行对数式与指数式的互化，会求简单的对数值． 逐点清(一)　对数的概念 [多维度理解] 1．对数的概念 一般地，如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数称为常用对数 lg_N 自然对数 以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数 ln_N 微点助解 (1)定义中为什么规定a＞0，且a≠1? 理由：①当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0. ②当a＝0，且N≠0时，logaN不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0. ③当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1. (2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫作对数运算，不过对数运算的符号要写在数的前面． [细微点练明] 1．lg 7与ln 8的底数分别是(　 ) A．10,10 B．e，e C．10，e D．e,10 答案：C 2．已知loga2b＝c，则有(　 ) A．a2b＝c B．a2c＝b C．bc＝2a D．c2a＝b 解析：选B　由题意得(a2)c＝b，即a2c＝b. 3．在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(　 ) A．(－∞，3] B．(3,4)∪(4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(3,4) 解析：选B　由对数的概念可得解得3<x<4或x>4. 4．完成下面的指数式与对数式的互化． 25＝32⇒__________；27－＝⇒__________； log5125＝3⇒________；log3＝－4⇒________. 答案：log232＝5　log27＝－　53＝125　3－4＝ 逐点清(二)　对数与指数的关系 [多维度理解] 1．对数与指数的关系 当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN. 2．对数与指数的关系示意图 微点助解 指数式ab＝N，根式＝a和对数式logaN＝b(N＞0，a＞0，且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式．具体对应如下： 表达形式 a b N 对应的运算 ab＝N 底数 指数 幂 乘方，由a，b求N ＝a 方根 根指数 被开方数 开方，由N，b求a logaN＝b 底数 对数 真数 对数，由N，a求b 由此可知： ①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； ②弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键． [细微点练明] 1．已知loga9＝－2，则a的值为(　 ) A．－3 B．－ C．3 D. 解析：选D　∵loga9＝－2，a＞0，且a≠1，∴a－2＝9.解得a＝.故选D. 2．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　 ) A．100＝1与lg 1＝0 B．27－＝与log27＝－3 C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5 解析：选ACD　选项A中，指数式100＝1化为对数式为lg 1＝0，A正确；选项B中，指数式27－＝化为对数式为log27＝－，B不正确；选项C中，对数式log39＝2化为指数式为32＝9，C正确；选项D中，对数式log55＝1化为指数式为51＝5，D正确． 3．求下列各式的值． (1)log981＝________；(2)log0.41＝__________；(3)ln e2＝______. 解析：(1)设log981＝x，所以9x＝81＝92.故x＝2，即log981＝2. (2)设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40.故x＝0，即log0.41＝0. (3)设ln e2＝x，所以ex＝e2.故x＝2，即ln e2＝2. 答案：(1)2　(2)0　(3)2 逐点清(三)　对数的性质及对数恒等式的应用　　 [多维度理解] 对数的性质 (1)loga1＝0(a>0，且a≠1)； (2)logaa＝1(a>0，且a≠1)； (3)零和负数没有对数 对数恒等式 alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0) 微点助解 1．利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求log