4.1.1 根式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

32 / 146 　第4章　指数与对数 4．1.1　根　式(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 理解n次方根、根式的概念，明确正数的偶次方根有两个，偶次根式下被开方数必须非负． 逐点清(一)　n次方根 [多维度理解] 定义 一般地，如果xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根 个数 n为奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为x＝ a<0 x<0 n为偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为x＝± a<0 x不存在 注意 0的n次方根等于0 微点助解 (1)在n次方根的概念中，关键是数a的n次方根x满足xn＝a，因此求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a. (2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广． (3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算． [细微点练明] 1．(多选)若xn＝a(x≠0)，则下列说法正确的是(　 ) A．当n为奇数时，x的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为x C．当n为偶数时，x的n次方根为±a D．当n为偶数时，a的n次方根为±x 解析：选BD　当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于(±x)n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以B、D的说法是正确的，故选B、D. 2．(多选)下列说法正确的是(　 ) A.＝3 B．16的4次方根是±2 C.＝±3 D.＝|x＋y| 解析：选BD　负数的3次方根是一个负数，＝－3，故A错误；16的4次方根有两个，为±2，故B正确；＝3，故C错误；是非负数，所以＝|x＋y|，故D正确． 逐点清(二)　根　式 [多维度理解] 1．根式 式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． 2．根式的性质(n>1，n∈N*) (1)当n为奇数时，＝. (2)当n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝. (4)负数没有偶次方根． 微点助解 根式符号的注意点 (1)n＞1，且n∈N*. (2)当n为大于1的奇数时，对任意的实数a都有意义，它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根，从而有()n＝a. (3)当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义； (a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，a的另一个n次方根是－，从而有(±)n＝a. (4)式子对任意a∈R都有意义． [细微点练明] 1．判断正误： (1)()5＝－2.(　 ) (2)()4＝－2.(　 ) (3)()4＝2.(　 ) (4)＝－5.(　 ) (5)＝b.(　 ) (6)＝b2.(　 ) (7)()n总有意义．(　 ) (8) 总有意义．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　(7)×　(8)√ 2．已知xy≠0，且＝－2xy，则以下结论正确的是(　 ) A．xy<0 B．xy>0 C．x>0，y>0 D．x<0，y<0 解析：选A　由＝|2xy|＝－2xy，xy≠0知xy<0.所以x，y异号，A正确． 3．若x≠0，则|x|－＋的值为(　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选C　因为x≠0，所以|x|－＋＝|x|－|x|＋＝1. 4．若＝，则实数a的取值范围是(　 ) A．R B．{0} C. D. 解析：选D　由＝＝＝，可得2a－1≤0，即a≤.所以实数a的取值范围是. 逐点清(三)　根式的化简与求值 [典例]　化简下列各式： (1) (n>1，且n∈N*)； (2) . [解]　(1)＝|3－π|.当n为奇数时，＝3－π；当n为偶数时，＝|3－π|＝π－3. (2) ＝|x－y|. 当x≥y时，＝x－y； 当x<y时，＝y－x. [方法技巧] 化简根式的注意点 (1)在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数． (2)对于形如(m>0，n>0)的双重根式，当满足a>b>0，a＋b＝m，ab＝n时，有＝±.　　 [针对训练] 求下列各式的值： (1)＋； (2)－＋. 解：(1)法一：原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2. 法二：令x＝＋，两边平方得x2＝6＋2＝8. 因为x>0，所以x＝2. (2)原式＝－＋＝＋－(2－)＋2－＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$