3.3.2 从函数观点看一元二次不等式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

55 / 62 3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 第 1 课时　一元二次不等式及其解法(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． (一)一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 微点助解 对一元二次不等式的理解 (1)一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种情况，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式． (2)一元二次不等式一定为整式不等式，例如，x2＋<0就不是一元二次不等式． (3)理解一元二次不等式的概念时，还需了解下列概念： ①如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式称为同解不等式； ②将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形． [基点训练] 判断正误： (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式．(　 ) (2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式．(　 ) (3)不等式－x2－2x＋3>0是一元二次不等式．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ (二)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的 实数根x1，x2 (x1＜x2) 有两个相等的 实数根x1＝ x2＝－ 没有 实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 ax2＋bx＋c＞0的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ R ax2＋bx＋c＜0的解集 (x1，x2) ∅ ∅ 微点助解 (1)利用相应二次函数的图象求一元二次不等式的解集的情况可以归纳如下： 一元二次不等式，a为正值来定形； 对应方程根求好，心中想想抛物线； 大于异根取两边，小于异根夹中间； 大于等根根去掉，小于等根空集成； 大于无根取全体，小于无根不可能！ (2)“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)． [基点训练] 1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　 ) A. B. C．∅ D．R 解析：选D　因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R. 2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　 ) A.∪(3，＋∞) 　　　 B. C.∪ 　　　 D．R 解析：选C　3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－. 3．若关于x的不等式－x2＋4x>2mx的解集为{x|0<x<2}，则实数m的值为(　 ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：选B　根据题意x＝0和x＝2是方程－x2＋4x＝2mx的实数根，所以－4＋8＝4m，解得m＝1.故选B. 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. [解]　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图1所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0， 函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图3所示． 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． 　 　 图1　　　　 图2　　　　　图3 [方法技巧] 解一元二次不等式的一般方法和步骤 [针对训练] 　 解不等式－2<x2－3x≤10. 解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2>0，即(x－1)(x－2)>0， 解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0，即(x－5)(x＋2)≤0， 解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2<x≤5}． 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解关于x的不等