3.3.1 从函数观点看一元二次方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

55 / 62 3．3.1　从函数观点看一元二次方程 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及个数． 2．了解函数的零点与方程根的关系．通过函数图象理解二次函数的概念． 3．能利用二次函数的图象和性质解决与二次函数零点有关的问题． 逐点清(一)　解一元二次方程 [多维度理解] 一元二次方程的解法 配方法 解法步骤：(1)化二次项系数为1； (2)移项：把常数项移到方程的右边，二次项和一次项移到方程的左边； (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方的形式； (4)解方程：若方程右边是非负数，通过直接开平方法求方程的根 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝ 因式分解法 一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A·B＝0的形式，则可将原方程化为两个一次方程，即A＝0或B＝0，从而得方程的两根 [细微点练明] 1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为(　 ) A．5 B．－5 C．11 D．－11 解析：选A　由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24. 2．关于x的方程x2－4x＋7＝0的根是(　 ) A．x1＝2＋，x2＝2－ B．x1＝－2＋，x2＝－2－ C．无实数根 D．x1＝2＋，x2＝2－ 答案：C 3．下列有两个不相等的实数根的方程是(　 ) A．x2＋1＝0　　　　　 B．x2－2x＋1＝0 C．x2＋2x＋4＝0 D．x2－x－3＝0 答案：D 4．按指定的方法解方程： (1)(x＋9)2－25＝0(直接开平方法)； (2)x2－6x－16＝0(配方法)； (3)3x(x－1)＝2(x－1)(因式分解法)； (4)2x2－7x＋2＝0(公式法)． 解：(1)方程变形得(x＋9)2＝25，开方得x＋9＝5或x＋9＝－5，解得x1＝－4，x2＝－14. (2)方程变形得x2－6x＝16，配方得x2－6x＋9＝25，即(x－3)2＝25， 开方得x－3＝5或x－3＝－5，解得x1＝8，x2＝－2. (3)方程变形得3x(x－1)－2(x－1)＝0，因式分解得(3x－2)(x－1)＝0，解得x1＝，x2＝1. (4)由题意，知a＝2，b＝－7，c＝2. ∵Δ＝49－16＝33，∴x＝. 逐点清(二)　一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系 [多维度理解] 1．二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 2．当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下： 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1,2＝ 有两个相等的 实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点 x1,2＝ 有一个零点x＝－ 无零点 [细微点练明] 1．二次函数y＝2x2＋x－1的零点是(　 ) A.，－1 B．－，1 C.，(1,0) D.，(－1,0) 解析：选A　二次函数y＝2x2＋x－1的零点就是2x2＋x－1＝0的解，解得x＝或x＝－1. 2．二次函数y＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是(　 ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选C　因为Δ＝b2＋24>0，所以二次函数y＝2x2＋bx－3(b∈R)有2个零点． 3．若函数y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)的一个零点为1，则其另一个零点为________． 解析：法一：因为函数y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)的一个零点为1，将(1,0)代入得a＋2a＋3＝0，解得a＝－1.所以y＝－x2－2x＋3.令－x2－2x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝－3，所以函数的另一个零点为－3. 法二：由函数y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)的一个零点为1，可得方程ax2＋2ax＋3＝0(a≠0)的一个根为1，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－＝－2，所以另一个根为－3.故函数的另一个零点为－3. 答案：－3 4．若函数y＝x2＋ax＋1有两个不同的零点，则实数a的取值范围为____________． 解析：因为函数y＝x2＋ax＋1有两个不同的零点，所以方程x2＋ax＋1＝0有两个不同的实数根．所以