3.2.2 基本不等式的应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

55 / 62 3.2.2　基本不等式的应用(深化课—题型研究式教学) 　课时目标 1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过配凑、变形等利用基本不等式求最值． 2．要灵活应用不等式解决问题，能够利用基本不等式解决实际问题． 题型(一)　利用基本不等式求最值 1．已知a，b都是正数，则有 和定积最大 若a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值 积定和最小 若ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2 2．基本不等式求最值的条件 (1)a，b必须是正数． (2)求积ab的最大值时，应看和a＋b是否为定值；求和a＋b的最小值时，应看积ab是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． [典例]　已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值. [解]　法一：1的代换　∵＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋. ∵x＞0，y＞0，∴＋≥2＝6. 当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立． 又＋＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 法二：消元法　由＋＝1，得x＝. ∵x＞0，y＞0，∴y＞9. x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1 ＝(y－9)＋＋10. ∵y＞9，∴y－9＞0， ∴y－9＋≥2＝6. 当且仅当y－9＝，即y＝12时，等号成立，此时，x＝4.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 法三：配凑法　由＋＝1，得y＋9x＝xy， ∴(x－1)(y－9)＝9. ∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2＝16. 当且仅当x－1＝y－9时，等号成立． 又∵＋＝1，∴x＝4，y＝12. ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. [方法技巧] 根据条件利用基本不等式的变形求最值的方法 根据已知条件利用基本不等式求最值的基本思路有两个：一是消元的思想，转化为只有一个变量的代数式，再通过变形转化为基本不等式的形式求解；二是直接利用条件式或进行恰当地转化，然后利用基本不等式求最值，在此过程中需注意： (1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件． (2)当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最值． (3)特别注意“1”的代换．　　 [针对训练] 　(1)设0<x<2，求的最大值； (2)已知a>0，b>0，若a＋b＝2，求＋的最小值． 解：(1)因为0<x<2，所以4－2x>0.所以＝·≤·＝，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立，所以的最大值为. (2)因为a>0，b>0，所以a＋1>0，b＋1>0. 又a＋b＝2，所以a＋1＋b＋1＝4.所以＋＝＋[(a＋1)＋(b＋1)]＝[5＋＋]≥[5＋2]＝， 当且仅当即时，等号成立．所以＋的最小值为. 题型(二)　利用基本不等式解决实际问题 [典例]　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． [解]　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y) m. 法一：由已知xy＝16， 由≥，可知x＋y≥2＝8，所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 法二：由已知xy＝16，得y＝. 所以2(x＋y)＝2≥2×2＝16. 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. [变式拓展] 　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解：由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy， 由≤＝＝3，或＝≤＝3，可得xy≤9， 当且仅当x＝y＝3时，等号成立． 因此，当游乐园是边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. [方法技巧] 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值，利用基本不等式求最值； (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论．　　 [针对训练] 　某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝. 解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝. ∴每平方米的平均综合费用 y＝560＋48x＋＝560＋48. 当x＋取最小值时，y有最小值． ∵x≥10，∴x＋