3.2.1 基本不等式的证明（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

55 / 62 3．2.1　基本不等式的证明(强基课—梯度进阶式教学) 　　课时目标 1.掌握基本不等式≤(a，b≥0)，掌握基本不等式的变形及应用． 2．能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式． 1．算术平均数、几何平均数 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数． 2．基本不等式 如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时，等号成立)． 我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式． 3．两个重要推论 当a，b∈R时， (1)ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)ab≤2(当且仅当a＝b时，等号成立)． 微点助解 (1)基本不等式≥中，要求a，b≥0，否则，若a<0，b<0，如a＝－2，b＝－4，则会出现≥的错误结论．若a，b中有一个小于0，如a＝2，b＝－4，则无意义． (2)基本不等式成立的条件是a，b≥0，而重要不等式中的a，b是实数．事实上，当a，b≥0时，我们分别用，代替重要不等式中的a，b，即得a＋b≥2，变形可得≥. (3)基本不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的正数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应为正数． [基点训练] 1．判断正误： (1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(　 ) (2)6和8的几何平均数为2.(　 ) (3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立．(　 ) (4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　 ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 解析：选B　当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立． 3．已知a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　 ) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| 答案：A 4．若x＞0，则函数y＝x＋(　 ) A．有最大值－4 B．有最小值4 C．有最大值－2 D．有最小值2 答案：B 题型(一)　利用基本不等式比较大小 [典例]　(1)设0<a<b，则下列不等式正确的是(　 ) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D.<a<<b (2)已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________． [解析]　(1)法一：∵0<a<b，∴a<<b，排除A、C两项. 又－a＝(－)>0，即>a，排除D项，故选B. 法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a＜＜＜b. 故选B. (2)因为a>2，所以a－2>0， 又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<4，综上可知m>n. [答案]　(1)B　(2)m>n [方法技巧] 利用基本不等式比较大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a，b≥0.　 [针对训练] 1．(2023·南京金陵中学校考)设0<a<b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　 ) A. B．b C．2ab D．a2＋b2 解析：选B　∵ab<2，∴ab<，∴2ab<. ∵>>0， ∴ >，∴a2＋b2>. ∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0， ∴b>a2＋b2，∴b最大． 2．已知a，b，c是两两不等的实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac的大小关系是________________________________________________________________________． 解析：∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac. 答案：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac 题型(二)　利用基本不等式证明不等式 [典例]　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1. 求证：＋＋>9. [证明]　∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋>3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9. ∴＋＋>9. [变式拓展] 　本例条件不变，求证：－1>8. 证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0， ∴＝··>＝8. ∴>8. [方法技巧] 利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加条件