3.1 不等式的基本性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

55 / 62 　　第3章　不等式 　　 3.1　不等式的基本性质(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解实数比较大小的基本事实，并能利用作差法比较两个数(式)的大小． 2．通过等式与不等式的差异，掌握等式和不等式的性质，能利用不等式的性质证明简单的不等式和解简单不等式． 3．运用不等式的性质分析解决问题时，必须验证是否满足它成立的条件． 1．实数大小比较的基本事实 2．等式的性质 (1)若a＝b且b＝c，则a＝c； (2)若a＝b，则a±c＝b±c； (3)若a＝b，则ac＝bc； (4)若a＝b，c≠0，则＝. 3．不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 4．不等式常用二级结论 (1)a>b，c<d⇒a－c>b－d. (2)a＋c>b⇒a>b－c. (3)a>b>0，d>c>0⇒>. (4)a>b，ab>0⇒<；a>b，ab<0⇒>. (5)a>b，n∈N*，n>1且n为奇数⇒an>bn，>. (6)a>b>0，c>0⇒>. 微点助解 (1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．注意传递性是有条件的！ (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．性质1把不等式两边的式子交换，所得不等式和原不等式异向． (3)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b>c⇒a>c－b.性质3是可逆的，即a>b⇔a＋c>b＋c. [基点训练] 1．判断正误： (1)若>1，则a>b.(　 ) (2)a与b的差是非负实数， 可表示为a－b>0.(　 ) (3)∀x∈R，都有x2>x－1.(　 ) (4)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a>b，则ac>bc.(　 ) (5)a，b，c为实数，若ac2>bc2，则a>b.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2．与a>b等价的不等式是(　 ) A．|a|>|b|　　　　 B．a2>b2 C.>1 D．a3>b3 解析：选D　可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，＝－<1，故A、B、C都不正确． 3．已知a<0<b，则下列不等式恒成立的是(　 ) A．a＋b<0 B.<1 C.>1 D.> 答案：B 4．若x<0，则x－2与2x－2的大小关系是________． 解析：因为x－2－(2x－2)＝－x>0， 所以x－2>2x－2. 答案：x－2>2x－2 题型(一)　利用不等式的性质判断命题真假 [典例]　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　 ) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 [解析]　法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a>b>0，有ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； ⇒>，故C为假命题； ⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题． 法二：特殊值排除法．取c＝0，则ac2＝bc2，故A为假命题；取a＝2，b＝1，则＝，＝1.有<，故B为假命题；取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C为假命题． [答案]　D [方法技巧] 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．　 [针对训练] 1．(多选)下列四个结论正确的是(　 ) A．a>b，c<d⇒a－c>b－d B．a>b>0，c<d<0⇒ac>bd C．a>b>0⇒a3>b3 D．a>b>0⇒> 解析：选AC　利用不等式的同向可加性可知A正确；根据不等式的性质可知ac<bd，故B不正确；根据不等式性质7可知C正确；由a>b>0可知a2>b2>0，所以<，所以D不正确． 2．已知a＋b<0，且a>0，则(　 ) A．a2<－ab<b2 B．b2<－ab<a2 C．a2<b2<－ab D．－ab<b2<a2 解