2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

42 / 42 第 2 课时　全称量词与存在量词的综合问题(深化课—题型研究式教学) 题型(一)　全称量词命题和存在量词命题的真假判断　　　 [典例]　 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N, 2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)对任意实数a，|a|＞0； (4)有一个角α，使sin α＝. [解]　(1)是全称量词命题．因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题． [方法技巧] 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可，这就是通常所说的“举出一个反例”． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．　　 [针对训练] 1．(多选)下列命题正确的是(　 ) A．∀x∈R，x2＋2>0 B．∀x∈N，x4≥1 C．∃x∈Z，x3<1 D．∃x∈Q，x2＝3 解析：选AC　对于A，由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题；对于B，由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题；对于C，由于－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立．所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题；对于D，由于使x2＝3成立的数只有±，±都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题． 2．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假． (1)p：∃x∈∁RQ，x2∈Q； (2)p：所有能被2整除的数都是偶数； (3)p：存在x∈R，使得2x≤0； (4)p：∃x∈Z＋，∈N. 解：(1)綈p：∀x∈∁RQ，x2∉Q，当x＝∈∁RQ，则x2＝2∈Q，所以綈p为假命题． (2)綈p：存在能被2整除的数不是偶数，因为所有能被2整除的数都是偶数为真命题，所以綈p为假命题． (3)綈p：对于任意的x∈R，都有2x>0，因为函数2x>0，所以綈p为真命题． (4)綈p：∀x∈Z＋，∉N，因为＝3－，且x∈Z＋，所以x＋1>1，所以0<<1，所以3－∉N，即∉N，所以綈p为真命题． 题型(二)　全称量词命题与存在量词命题的应用　　　 [典例]　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． [解]　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a，所以2＋a≥3，所以a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}． [变式拓展] 　若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． 解：由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题，故有>1，解得a<1.故a的取值范围是{a|a＜1}． [方法技巧] 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解的问题来处理，可借助根的判别式等知识解决． [针对训练] 1．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________． 解析：∀x≥3，使得2x－1≥m成立，只需m≤2×3－1＝5. 答案：{m|m≤5} 2．已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为綈p是假命题，所以p是真命题， 又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}， 则解得－3≤a≤1.即实数a的取值范围是{a|－3≤a≤1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$