2.3.1 全称量词命题与存在量词命题（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

42 / 42 　　　　　　　　2.3　全称量词命题与存在量词命题 第 1 课时　全称量词与存在量词(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义，熟悉常见的全称量词和存在量词． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 逐点清(一)　全称量词与全称量词命题 [多维度理解] 全称量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x” 全称量词命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式为∀x∈M，p(x) 微点助解 (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来． [细微点练明] 1．(多选)下列命题是全称量词命题的是(　 ) A．任意一个自然数都是正整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．∃x∈R，x2＋1＝0 解析：选AC　选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题． 2．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是(　 ) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，使得x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 解析：选C　“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　 ) A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立 解析：选C　 B、D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故选C. 逐点清(二)　存在量词与存在量词命题 [多维度理解] 存在量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x” 存在量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式为∃x∈M，p(x) 微点助解 (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． [细微点练明] 1．(多选)下列命题是存在量词命题的是(　 ) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．存在x∈R,2x＋1是奇数 解析：选ABD　“有的”“存在”属于存在量词，“任意”属于全称量词，所以选项C不是存在量词命题，其他均为存在量词命题，故选A、B、D. 2．(多选)下列命题与“∃x∈R，x2>3”等价的表述的是(　 ) A．有一个x∈R，使得x2>3成立 B．对有些x∈R，使得x2>3成立 C．任选一个x∈R，使得x2>3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立 解析：选ABD　题干中的命题是存在量词命题，而C是全称量词命题，A、B、D的表述均与题干命题等价． 3．下列存在量词命题是假命题的是(　 ) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 解析：选B　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立． 逐点清(三)　全称量词命题和存在量词命题的否定　　　 [多维度理解] 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定形式 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题 微点助解 (1)全称量词命题、存在量词命题否定的口诀：“改变量词，否定结论”． (2)一个命题和它的否定只能一真一假． (3)常见词语的否定 正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 [细微点练明] 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　 ) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 　D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 解析：选C　此全称量词命题的否定为∃x∈R