2.2 充分条件、必要条件、充要条件（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

42 / 42 　　　　　　　　2.2　充分条件、必要条件、充要条件 第 1 课时　充分、必要、充要条件(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 3．理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 逐点清(一)　充分条件与必要条件 [多维度理解] “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p q 条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件；性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 微点助解 (1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“⇒”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． (4)p是q的充分条件反映了p⇒q，而q是p的必要条件同样反映了p⇒q，这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系，只是说法不同． (5)如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作p⇒/ q．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． [细微点练明] 1．判断正误： (1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(　 ) (2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　 ) (3)若q不是p的必要条件，则“p⇒/ q”成立．(　 ) (4)“x>0”是“x>1”的充分条件．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　 ) A．四边形的对角线相等 B．四边形的两组对边分别相等 C．四边形有两个内角都为直角 D．四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 解析：选D　四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A错误；四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B错误；四边形有三个内角为直角才是矩形，故C错误；四边形两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180°，故相邻两角均为直角，故该平行四边形是矩形，故D正确． 3．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　 ) A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0 解析：选ABC　由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以选项D不符合题意． 4．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　 ) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 解析：选BCD　A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0⇒a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a＝0可以推出ab＝0，符合题意． 5．从符号“⇒”“⇒/ ”“⇔”中选择适当的一个填空： (1)x2>1________x>1； (2)a，b都是偶数________a＋b是偶数； (3)x2＝1________|x|＝1； (4)n是偶数________n是4的倍数． 答案：(1) ⇒/　(2)⇒　(3)⇒　(4) ⇒/ 逐点清(二)　充要条件 [多维度理解] 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p.如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 微点助解 1．条件p与结论q的关系与充分、必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，但q p p是q的充分且不必要条件 q⇒p，但p q p是q的必要且不充分条件 p⇒q且q⇒p，即p⇔q p与q互为充要条件 pq，且q p p是q的既不充分又不必要条件 2.从集合的角度看充分、必