3.3.2 从函数观点看一元二次不等式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

课时目标 3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 第 1 课时 一元二次不等式及其解法(强基课—梯度进阶式教学) 1. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1 2 目 录 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 课堂环节 题点研究·迁移应用融会贯通 2 (一)一元二次不等式的概念 定义 只含有一个 ，并且未知数最高次数是 的整式不等式叫作一元二次不等式 一般 形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 未知数 2 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 微点助解 对一元二次不等式的理解 (1)一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种情况，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式． [基点训练] 判断正误： (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式．(　 ) (2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式．(　 ) (3)不等式－x2－2x＋3>0是一元二次不等式．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ (二)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 续表 ax2＋bx＋c＞0的解集 ax2＋bx＋c＜0的解集 (－∞，x1)∪ (x2，＋∞) ∅ (x1，x2) ∅ R 续表 微点助解 (1)利用相应二次函数的图象求一元二次不等式的解集的情况可以归纳如下： 一元二次不等式，a为正值来定形； 对应方程根求好，心中想想抛物线； 大于异根取两边，小于异根夹中间； 大于等根根去掉，小于等根空集成； 大于无根取全体，小于无根不可能！ (2)“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)． 答案：D　 解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R. 答案：C　 3．若关于x的不等式－x2＋4x>2mx的解集为{x|0<x<2}，则实数m的值为(　 ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案：B　 解析：根据题意x＝0和x＝2是方程－x2＋4x＝2mx的实数根，所以－4＋8＝4m，解得m＝1.故选B. 课堂环节　 题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. [解]　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图1所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0， 函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图3所示． 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． [方法技巧] 解一元二次不等式的一般方法和步骤 [针对训练] 解不等式－2<x2－3x≤10. 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)． [解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. [方法技巧]　解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次项系数 二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数 判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系 写出解集 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 [提醒]　对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算 [针对训练] 解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小． ①当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)． ②当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为