3.2.1 基本不等式的证明（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

课时目标 3．2.1　基本不等式的证明(强基课—梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 课堂环节 题点研究·迁移应用融会贯通 2 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 算术平均数 几何平均数 a＝b (3)基本不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的正数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应为正数． 答案：(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　 ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 答案：B　 解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立． 3．已知a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　 ) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| 答案：A 答案：B 课堂环节　 题点研究·迁移应用融会贯通 [答案]　(1)B　(2)m>n [方法技巧] 利用基本不等式比较大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a，b≥0.　 答案：B　 2．已知a，b，c是两两不等的实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac的大小关系是_____________________________________． 解析：∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac. 答案：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac [方法技巧] 利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加条件 观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件 有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到 [针对训练] 已知x>0，y>0，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. [答案]　(1)B　(2)D [方法技巧] 拼凑法求解最值应注意的问题 (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．　　 答案：BD　 2．已知a>0，b>0，且ab＝9a＋b，则ab的最小值为________． 答案：36 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测”（十二） (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 1. 掌握基本不等式≤(a，b≥0)，掌握基本不等式的变形及应用． 2．能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式． 1．算术平均数、几何平均数 对于正数a，b，我们把称为a，b的 ， 称为a，b的 ． 2．基本不等式 如果a，b是正数，那么≤ (当且仅当 时，等号成立)． 我们把不等式 (a，b≥0)称为基本不等式． ≤ 3．两个重要推论 当a，b∈R时， (1)ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)ab≤2(当且仅当a＝b时，等号成立)． 微点助解 (1)基本不等式≥中，要求a，b≥0，否则，若a<0，b<0，如a＝－2，b＝－4，则会出现≥的错误结论．若a，b中有一个小于0，如a＝2，b＝－4，则无意义． (2)基本不等式成立的条件是a，b≥0，而重要不等式中的a，b是实数．事实上，当a，b≥0时，我们分别用，代替重要不等式中的a，b，即得a＋b≥2，变形可得≥. [基点训练] 1．判断正误： (1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(　 ) (2)6和8的几何平均数为2.(　 ) (3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立．(　 ) (4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.(　 ) 4．若x＞0，则函数y＝x＋(　 ) A．有最大值－4 B．有最小值4 C．有最大值－2 D．有最小值2 题型(一)　利用基本不等式比较大小 [典例]　(1)设0<a<b，则下列不等式正确的是(　 ) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D.<a<<b (2)已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________． [解析]　(1)法一：∵0<a<b，∴a<<b，排除A、C两项. 又－a＝(－)>0，即>a，