1.4.3 一元二次不等式的应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

　4.3　一元二次不等式的应用(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 题型(一)　简单分式不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)<0； (2)≤1. [解]　(1)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}. (2)∵≤1，∴－1≤0， ∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0， 解得x<或x≥4， ∴原不等式的解集为. [方法技巧] 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.　　 [针对训练] 解下列不等式： (1)≥0；(2)<3. 解：(1)不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3. 即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}. (2)不等式<3可改写为－3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}. 题型(二)　一元二次不等式恒成立问题 [典例]　对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围. [解]　若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则解得－4<m<0. 综上，m的取值范围为(－4,0]. [变式拓展] 1.在本例中，是否存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：不存在.理由：显然当m＝0时不等式不成立；当m≠0时，由题意可得解得m∈∅，所以不存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0. 2.在本例中，把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”，其余不变，求m的取值范围. 解：由不等式mx2－mx－1<0得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝2－≤6， 所以≥，所以m<. 即m的取值范围是. [方法技巧] 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号. (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值.　 题型(三)　一元二次不等式的实际应用 [典例]　某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [解]　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)， 整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 当且仅当 即解不等式，得0＜x＜， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足x∈. [方法技巧] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式.　　 [针对训练] 在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问谁超速行驶应负主要责任. 解：由题意列出不等式s甲＝0.1x甲＋0.01x>12， 解得x甲<－40或x甲>30，s乙＝0.05x乙＋0.005x>10，解得x乙<－50或x乙>40. 由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任. 74 学科网（北京）股份有限公司 $$