1.4.2 一元二次不等式及其解法（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

4.2　一元二次不等式及其解法(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. (一)一元二次不等式的概念 概念 一般地，形如ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式 一元二次不等式的解 使一元二次不等式成立的未知数的值叫作这个一元二次不等式的解 一元二次不等式的解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集 微点助解 对一元二次不等式的理解 (1)一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种情况，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式. (2)一元二次不等式一定为整式不等式，例如，x2＋<0就不是一元二次不等式. (3)理解一元二次不等式的概念时，还需了解下列概念： ①如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式称为同解不等式； ②将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形. [基点训练] 1.判断正误： (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(　 ) (2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式.(　 ) (3)不等式－x2－2x＋3>0是一元二次不等式.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2.二次函数y＝x2－4的零点是________. 答案：2和－2 (二)一元二次不等式的求解方法 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ R ax2＋bx＋c＜0(a>0)的解集 (x1，x2) ∅ ∅ 微点助解 (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集； (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. [基点训练] 1.不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　 ) A. B. C.∅ D.R 解析：选D　因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R. 2.不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　 ) A. 　　 B. C. 　　 D.R 解析：选C　3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－. 3.若关于x的不等式－x2＋4x>2mx的解集为{x|0<x<2}，则实数m的值为(　 ) A.－1 B.1 C.2 D.－2 解析：选B　根据题意x＝0和x＝2是方程－x2＋4x＝2mx的实数根，所以－4＋8＝4m，解得m＝1. 故选B. 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. [解]　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图1所示). 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0， 函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}. (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图3所示. 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}. 　 　 图1　　　　 图2　　　　　图3 [方法技巧]　解一元二次不等式的一般方法和步骤 [针对训练] 解不等式－2<x2－3x≤10. 解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2>0，即(x－1)(x－2)>0， 解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0，即(x－5)(x＋2)≤0， 解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2<x