1.4.1 一元二次函数（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

4.1　一元二次函数(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.理解函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系. 2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质. 逐点清(一)　一元二次函数的图象及变换 [多维度理解] 1.一元二次函数的定义 一般地，把形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线. 2.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 3.一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到. 微点助解 任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2的图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示： 上述平移规律：“h值正、负，左、右移”，即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”. [细微点练明] 1.函数y＝2x(3－x)的图象可能是(　 ) 解析：选B　由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图象与x轴的交点为(0,0)，(3,0)，排除A、C.又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图象开口向下，故排除D. 2.把函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度，将得到的函数图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为(　 ) A.y＝2x2－1 B.y＝2x2－2 C.y＝2x2＋1 D.y＝2x2＋2 解析：选B　y＝x2→y＝x2－1→y＝2(x2－1)＝2x2－2. 3.在同一坐标系中作出下列函数的图象. (1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象. 解：列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如图所示. 由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x(即y＝2(x－1)2－2)的变化过程如下. 法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象. 法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象. 逐点清(二)　求一元二次函数的解析式 一元二次函数的解析式的三种不同形式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0). (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). [典例]　已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1.求此一元二次函数的解析式. [解]　法一：利用一般式 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 法二：利用顶点式 设y＝a(x－m)2＋n. ∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1. ∴抛物线的对称轴为x＝＝. ∴m＝.又根据题意知函数有最大值8， ∴n＝8. ∴y＝a2＋8.又抛物线过点(2，－1)， ∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴y＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. [方法技巧] 求一元二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解. (1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的形式. (2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，