广东省2023届高三上学期开学联考数学试卷

广东省2023届高三上学期数学开学联考试卷 一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知复数满足,则的虚部为( ) A.1 B.-1 C. D. 2.集合,,则( ) A. B. C. D. 3.在平行四边形中,点、分别满足,,若,,则( ) A. B. C. D. 4.如图所示的三棱锥中,面,,,则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A. B.27π C.54π D.108π 5.把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度,再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图像所表示的函数是( ) A. B. C. D. 6.在0至5这6个数字中任选3个不同的数,组成一个三位数,若从这些三位数中任取一个,则该数为三位偶数的概率是( ) A. B. C. D. 7.已知,数列满足,且对一切,有,则( ) A.是等差数列 B.是等比数列 C.是等比数列 D.是等比数列 8.设,,,则( ) A. B. C. D. 二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分) 9.已知,,则( ) A. B.曲线在处的切线斜率为1 C.在上单调递增 D.的最小值为 10.已知椭圆:,、是椭圆的两个焦点,、是椭圆上两点,且、分别在轴两侧,则( ) A.若直线经过原点,则四边形为矩形 B.四边形的周长为20 C.的面积的最大值为12 D.若直线经过,则到直线的最大距离为8 11.直六棱柱中,底面是边长为2的正六边形,侧棱,点是底面的中心,则( ) A.平面 B.与所成角的余弦值为 C.平面 D.与平面所成角的正弦值为 12.已知直线,曲线,曲线关于直线对称的曲线所对应的函数为,则以下说法正确的是( ) A.不论为何值,直线恒过定点; B.; C.若直线与曲线相切,则; D.若直线上有两个关于直线对称的点在曲线上,则. 三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.的展开式中的常数项为 . 14.过点作圆的两条切线,切点分别为 、,则直线的方程为 . 15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?现有这样一个相关的问题:被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列,构成数列,记数列的前项和为,则的最小值为 . 16.已知双曲线,、是双曲线的左、右焦点,是双曲线右支上一点,是的平分线,过作的垂线,垂足为,则点的轨迹方程为 . 四、解答题(共6题,共70分) 17.已知数列的前项和为,,且,. (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列的前项和. 18.已知锐角中,角、、所对边为、、,且. (1)求角; (2)若,求的取值范围. 19.如图所示,在直三棱柱中,底面是边长为2的等边三角形,,是的中点,是上一点. (1)求证:平面平面; (2)若平面,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 20.甲、乙两人进行下象棋比赛(没有平局).采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中,甲获胜的概率为,. (1)设甲以3:1获胜的概率为,求的最大值; (2)记(1)中,取得最大值时的值为,以作为的值,用表示甲、乙两人比赛的局数,求的分布列和数学期望. 21.已知抛物线的准线上一点,直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于不同的两点、. (1)求抛物线的方程; (2)设直线、、的斜率分别为、、,求证:. 22.已知函数,. (1)当时,比较与2的大小; (2)求证:,. 答案解析部分 1.【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】由,得,从而,所以的虚部为1. 故答案为:A 【分析】 根据已知条件,结合复数的四则运算,以及共轭复数和虚部的定义,即可求解出答案. 2.【答案】D 【知识点】交集及其运算 【解析】【解答】因为,,所以. 故答案为:D 【分析】求出集合A、B,利用交集定义能求出A∩B. 3.【答案】A 【知识点】平面向量的线性运算 【解析】【解答】解:因为在平行四边形中,点、分别满足,, 所以,, 所以. 故答案为:A 【分析】 由平面向量的线性运算,结合平面向量基本定理求解出答案. 4.【答案】B 【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】将三棱锥补形成正方体,易知该三棱锥的外接球即为正方体的外接球, 所以为外接球的直径,则可得,即, 所以外接球的表面积为. 故答案为:B. 【分析】将三棱锥补形成正方体,易知该三棱锥的外接球即为正方体的外接球,PC为外接球的直径,利用球的表面积公式求解出该三棱锥的外接球的表面积 . 5.【答案】C 【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 【解析】【解答】把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度,