广东省2023届高三上学期开学联考数学试卷

 

广东省2023届高三上学期数学开学联考试卷

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知复数满足，则的虚部为（　　）

A．1 B．-1 C． D．

2．集合，，则（　　）

A． B． C． D．

3．在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（　　）

A． B．

C． D．

4．如图所示的三棱锥中，面，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A． B．27π C．54π D．108π

5．把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（　　）

A． B．

C． D．

6．在0至5这6个数字中任选3个不同的数，组成一个三位数，若从这些三位数中任取一个，则该数为三位偶数的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．已知，数列满足，且对一切，有，则（　　）

A．是等差数列 B．是等比数列

C．是等比数列 D．是等比数列

8．设，，，则（　　）

A． B． C． D．

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9．已知，，则（　　）

A．

B．曲线在处的切线斜率为1

C．在上单调递增

D．的最小值为

10．已知椭圆：，、是椭圆的两个焦点，、是椭圆上两点，且、分别在轴两侧，则（　　）

A．若直线经过原点，则四边形为矩形

B．四边形的周长为20

C．的面积的最大值为12

D．若直线经过，则到直线的最大距离为8

11．直六棱柱中，底面是边长为2的正六边形，侧棱，点是底面的中心，则（　　）

A．平面

B．与所成角的余弦值为

C．平面

D．与平面所成角的正弦值为

12．已知直线，曲线，曲线关于直线对称的曲线所对应的函数为，则以下说法正确的是（　　）

A．不论为何值，直线恒过定点；

B．；

C．若直线与曲线相切，则；

D．若直线上有两个关于直线对称的点在曲线上，则.

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．的展开式中的常数项为　     　．

14．过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为　        　．

15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为　     　．

16．已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为　             　．

四、解答题（共6题，共70分）

17．已知数列的前项和为，，且，．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）求数列的前项和．

18．已知锐角中，角、、所对边为、、，且．

（1）求角；

（2）若，求的取值范围．

19．如图所示，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，是的中点，是上一点．

（1）求证：平面平面；

（2）若平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

20．甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）．采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．

（1）设甲以3：1获胜的概率为，求的最大值；

（2）记（1）中，取得最大值时的值为，以作为的值，用表示甲、乙两人比赛的局数，求的分布列和数学期望．