专题09垂径定理（3个知识点4种题型2种中考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

专题09垂径定理（3个知识点4种题型2种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.圆的轴对称性（重点） 知识点2.垂径定理（重点） 知识点3.垂径定理的逆定理（重点） 【方法二】 实例探索法 题型1.应用垂径定理进行计算 题型2.垂径定理逆定理的应用 题型3.垂径定理的实际应用 题型4.应用垂径定理作图 【方法三】 仿真实战法 考法1. 垂径定理 考法2. 垂径定理的应用 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 经历探索圆的轴对称性的过程。 2. 探索并掌握垂径定理及其逆定理。 3. 会运用垂径定理及其逆定理解决一些简单的几何问题。 【知识导图】 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.圆的轴对称性（重点） 圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： 　　①圆有无数条对称轴； 　 ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 知识点2.垂径定理（重点） 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 知识点3.垂径定理的逆定理（重点） 垂径定理的逆定理1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 垂径定理的逆定理2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【方法二】实例探索法 题型1.应用垂径定理进行计算 1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）    A． B． C． D． 3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（　　） A． B． C． D． 4．（2022·浙江·九年级专题练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，连接．若，，则的长为（　　）    A．10 B．5 C． D． 6．（2023·浙江衢州·统考二模）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（    ）    A． B． C． D． 7．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（    ） A． B． C．11 D．15 8．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 9．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 10．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．    (1)求的长； (2)若大圆半径为，求小圆的半径． 题型2.垂径定理逆定理的应用 11．（2022秋·九年级统考期中）如图，的弦，M是的中点，且，则的半径等于（    ） A．7 B．4 C．5 D．6 12．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ）． A．点 B．点 C．点 D．点 13．（2022秋·浙江温州·九年级校联考阶段练习）如图，的半径长为5，弦＝8，C为中点，则＝ ． 14．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图， 在平面直角坐标系中， 是⊙上的三个点，． (1)圆心的坐标为___________； (2)判断点与的位置关