专题3.1 圆的基本性质（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.1 圆的基本性质（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】圆及相关概念 （1）圆的概念 在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做圆心，线段OP叫做圆的半径。以点O为圆心的圆，记做“⊙O”，读作“圆O”。 （2）弦 连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径，直径是半径的两倍。 （3）弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧，劣弧用符号“⌒”和弧两端的字母表示；大于半圆的弧叫做优弧，半圆和优弧用符号“⌒”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母）。 （4）等圆（弧） 半径相等的两个圆能够完全重合，半径相等的两个圆叫做等圆，能够重合的圆弧称为相等的弧。 （5）点与圆的位置关系 如果用r表示圆的半径，d表示同一平面内点到圆心的距离，则有 （6）圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （7）外心 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 【知识点二】图形的旋转 一个图形变成另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。 图形的旋转具有以下性质： 图形经过旋转所得到的图形和原图形相等。 对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 【知识点三】垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 【知识点四】圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 1o圆心角所对的弧叫做1o的弧，no圆心角所对的弧叫做no的弧。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 【知识点五】圆周角 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 半圆（或直径）所对的圆周角是直径。 90o的圆周角所对的弦是直径。 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 【知识点六】圆内接四边形 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形的对角互补。 【知识点七】正多边形 正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形。 任意一个正三角形和正方形都能作出它的外接圆。 把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接正多边形。 任何正多边形都有一个外接圆。 【知识点八】弧长及扇形的面积 【考点一】圆的基本性质➼➼➻点和圆的位置关系 【例1】（2020秋·四川南充·九年级校考期中）已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是中最长的弦． 【分析】连接，，利用三角形三边关系可得，而，则可证明，即是中最长的弦． 解：证明：如图，连接，， 、、、是圆的半径， ． 是圆的直径， ． 、、是三角形的三边， ． 即． 是中最长的弦． 【点拨】本题考查直径为圆中最长的弦的证明，利用三角形三边关系证明是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）在数轴上，点所表示的实数为3，点所表示的实数为，的半径为2，下列说法错误的是（    ） A．当时，点在内 B．当时，点在内 C．当时，点在外 D．当时，点在外 【答案】A 【分析】先找出与点的距离为2的点1和5，再根据点与圆的位置关系的判定方法即可解． 解：由于圆心在数轴上的坐标为3，圆的半径为2， 当时，与数轴交于两点：1、5，故当、5时点在上； 当即当时，点在内； 当即当或时，点在外． 由以上结论可知选项、、不符合题意，选项符合题意． 故选：． 【点拨】题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【变式2】（2023·四川成都·统考二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ． 【答案】12 【分析】根据题意知的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解． 解：∵是内一点， ∴的直径为最小距离与最大距离的和， ∵最小距离与最大距离是