专题12垂径定理7大压轴题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题12 垂径定理七类题型 典例详解 类型一、垂径定理与勾股定理 类型二、垂径定理的应用 类型三、折叠弧问题 类型四、平行弦问题 类型五、同心圆问题 类型六、相交弦问题 类型七、垂径定理的推论 压轴专练 类型一、垂径定理与勾股定理 例1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，的直径是的弦，，垂足为，则的长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 变式1-1．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，为的直径，弦于，，，那么直径的长为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则圆半径长是（   ） A．2 B． C． D． 类型二、垂径定理的应用 例2．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（2025·陕西·模拟预测）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图①是小明帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 ． 变式2-3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长．”则的长是 寸． 类型三、折叠弧问题 例3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，为的直径，弦交于点E，将沿弦折叠，点C恰好落在的中点，若，则弦为（  ） A． B． C． D． 变式3-2．（24-25九年级下·广东·阶段练习）如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（   ） A． B． C．12 D． 变式3-3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的半径长是（   ） A．6 B． C． D．6.25 类型四、平行弦问题 例4．（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 变式4-1．（2026九年级·河北·专题练习）已知的半径为1，是的两条弦， ．求弦和弦之间的距离． 情况一：两条弦位于圆心的同侧 情况二：两条弦位于圆心的异侧 解答过程： 解答过程： 综上所述，弦和弦之间的距离为____________． 变式4-2．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 变式4-3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 类型五、同心圆问题 例5．（24-25九年级上·陕西·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 变式5-1．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 变式5-2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 类型六、相交弦问题 例6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则（　　） A．8 B．4 C． D． 变式6-1．（22-23九年级下·河北衡水·期中）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”，如图1，已知的两条弦，则、互为“十字弦”，是的“十字弦”，也是的“十字弦”． [概念理解] （1）若的半径为5，一条弦，则弦的“十字弦”的最大值为______，最小值为________． （2）如图2，若的弦恰好是的直径，弦与相交于H，连接，若，，，求证：、互为“十字弦”； [问题解决] （3）如图3，在中，半径为，弦与相交于H，、互为“十字弦”且，，则的长度为________．    类型七、垂径定理的推论 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 例7．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 变式7-1．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，为直径，为弦的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，四边形的面积为，求的长． 1．（2025·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，将半径为的沿折叠，恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（　　） A． B． C． D． 3．（18-19九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是 米． 5．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．C是上的点，，垂足为点M．若，，则的半径为 m． 7．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，为的直径，过点作于点，交于点，． (1)求证：为的中点； (2)若圆的半径为8，求弦的长． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 9．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 10．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 11．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 垂径定理七类题型 典例详解 类型一、垂径定理与勾股定理 类型二、垂径定理的应用 类型三、折叠弧问题 类型四、平行弦问题 类型五、同心圆问题 类型六、相交弦问题 类型七、垂径定理的推论 压轴专练 类型一、垂径定理与勾股定理 例1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，的直径是的弦，，垂足为，则的长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，先根据的直径求出及的长，再根据勾股定理可求出的长，进而得出结论． 【详解】解：连接， ∵的直径， ， ， ， ， 故选：C． 变式1-1．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，为的直径，弦于，，，那么直径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理；勾股定理．连接，设，再根据，得出，在中根据勾股定理可得出的值，进而得出的长． 【详解】解：连接，设， 弦于，， ， 在中， ，，， ，解得（负值舍去）， ． 故选：D． 变式1-2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则圆半径长是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，连接，设半径为，根据垂径定理得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设半径为 ∵的直径垂直于弦， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 类型二、垂径定理的应用 例2．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，连接，根据垂径定理的推论得，设，则，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵点D是的中点， ∴，． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 故选：C． 变式2-1．（2025·陕西·模拟预测）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由，且点为的中点，则，，设，则，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且点为的中点， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴大摆锤的长度为， 故选：． 变式2-2．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图①是小明帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设圆的圆心为O，连接，与交于点D，根据垂径定理可推出，结合锅盖直径为，利用勾股定理求得，进而求得，即为点到的距离． 【详解】解：如图，设圆的圆心为O，连接，与交于点D， ∵锅盖直径为， ∴， ∵垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，即，且， ∴， 在中，， ∴， 即锅盖最低点到的距离为． 故答案为：2． 变式2-3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长．”则的长是 寸． 【答案】10 【分析】此题考查了垂径定理的应用，解决本题的关键是注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题． 连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，且寸， ∴寸， 设的半径的长为x，则， ∵寸， ∴寸， 在中，根据勾股定理得： 解得， ∴寸． 故答案为：10． 类型三、折叠弧问题 例3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的运用以及翻折变换的性质，解题的关键在于作出辅助线利用数形结合解答．连接，过点O作于点，交于点，由折叠的性质得：，在中，利用勾股定理可得，再由垂径定理可知，从而求得答案． 【详解】解：连接，过点O作于点，交于点， 将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O， ， ， ， 在中，，， ， ， 故选：C． 变式3-1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，为的直径，弦交于点E，将沿弦折叠，点C恰好落在的中点，若，则弦为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理． 连接，令的中点为，根据折叠的性质可得，，即可求得，根据垂径定理可得，勾股定理可求得，即可求解． 【详解】解：连接，令的中点为，如图， ∵将沿弦折叠，点C恰好落在的中点上， ∴，， 又∵， ∴， 则， 又∵， ∴， ∴， 故， ∵CD为的直径，弦交CD于点E， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 变式3-2．（24-25九年级下·广东·阶段练习）如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于点，连接，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点，连接， ， ∴为的中点， ，为的中点， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得：，即 ， 解得， 故选： B． 变式3-3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的半径长是（   ） A．6 B． C． D．6.25 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和折叠的性质.过点作于点， 交于点，连接，根据折叠的性质得到垂直平分， 所以， 再判断为等边三角形得到，接着根据垂径定理得到， 然后证明是的中位线得到最后利用含度角的直角三角形三边的关系得到的长即可. 【详解】如图， 过点作于点， 交于点，连接， 如图， ∵沿弦折叠后，刚好经过圆心， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ， 又∵， ∴. 故选：A． 类型四、平行弦问题 例4．（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 变式4-1．（2026九年级·河北·专题练习）已知的半径为1，是的两条弦， ．求弦和弦之间的距离． 情况一：两条弦位于圆心的同侧 情况二：两条弦位于圆心的异侧 解答过程： 解答过程： 综上所述，弦和弦之间的距离为____________． 【答案】解答过程见解析；或 【分析】利用垂径定理和勾股定理，分两条弦位于圆心同侧和异侧两种情况进行讨论． 【详解】解：情况一：两条弦位于圆心的同侧： 过点作于点，交于点． ∵， ∴． 根据垂径定理，已知⊙的半径，由勾股定理可得： ， ． ∴此时弦和之间的距离为:． 情况二：两条弦位于圆心的异侧： 过点作于点，延长交于点． ∵， ∴． 同理，，，，． ∴此时弦和之间的距离为：． 综上，弦和弦之间的距离为：或． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是分情况讨论两条弦相对于圆心的位置，利用垂径定理求出弦心距，再根据位置关系计算弦之间的距离． 变式4-2．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【详解】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 变式4-3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 类型五、同心圆问题 例5．（24-25九年级上·陕西·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 变式5-1．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 变式5-2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 类型六、相交弦问题 例6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．连接，如图，先计算出，，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，如图， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故选：C． 变式6-1．（22-23九年级下·河北衡水·期中）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”，如图1，已知的两条弦，则、互为“十字弦”，是的“十字弦”，也是的“十字弦”． [概念理解] （1）若的半径为5，一条弦，则弦的“十字弦”的最大值为______，最小值为________． （2）如图2，若的弦恰好是的直径，弦与相交于H，连接，若，，，求证：、互为“十字弦”； [问题解决] （3）如图3，在中，半径为，弦与相交于H，、互为“十字弦”且，，则的长度为________．    【答案】（1）10，6；（2）见解析；（3）6 【分析】（1）当为直径时最大，当经过点B或经过点B时最小，根据勾股定理即可求出最小值； （2）连接，求出，则，进而得出，得出，即可求证、互为“十字弦”； （3）连接，过点O作于点E，过点O作于点F，易得四边形为矩形，设，则，根据垂径定理得出， 则，同理，得出四边形为正方形，得出，在中，根据勾股定理列出方程求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵的半径为5， ∴的直径为10， 当为直径时取最大值，此时， 当经过点A或点B时，取最小值， 如图，此时点A和点D重合，连接， ∵， ∴， ∵点B、A、C都在圆上， ∴为直径， ∴， 根据勾股定理可得：， 故答案为：10，6；    （2）证明：如图，连接，    ∵为的直径， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴、互为“十字弦”； （3）连接，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵、互为“十字弦” ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， 即， ∴四边形为正方形， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴． 故答案为：6    【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键在正确理解题目所给“十字弦”的定义． 类型七、垂径定理的推论 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 例7．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 变式7-1．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，为直径，为弦的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，四边形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，，然后由线段垂直平分线的性质可得答案； （2）连接，由，四边形的面积为，得，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）证明：为弦的中点，为直径， ，， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， ，四边形的面积为， ， ， ， ，则， 在中，， ． 1．（2025·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】该题考查了垂径定理，三角形中位线定理，根据垂径定理得出，从而得是的中位线，， ． 【详解】解：∵点是劣弧的中点，是半径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，将半径为的沿折叠，恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于点E，交于点P，根据垂径定理得到，利用折叠的性质得出，进而求得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，交于点P， ∵， ∴， ∵恰好经过与垂直的半径的中点，半径为， ∴， ∵将半径为的沿折叠， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 故选：A． 3．（18-19九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是 米． 【答案】145 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理可得米，设这段弯路的半径是x米，则米，米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵C是上的一点，，垂足为D， ∴米， 设这段弯路的半径是x米，则米， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴这段弯路的半径是145米， 故答案为：145． 5．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．C是上的点，，垂足为点M．若，，则的半径为 m． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，列方程解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． 连接，设圆的半径为，则，根据垂径定理得出，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为，则， ∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， 故答案为：5． 7．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，为的直径，过点作于点，交于点，． (1)求证：为的中点； (2)若圆的半径为8，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，由平行线的性质可得，再证明得出，即可得证； （2）根据勾股定理和垂径定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点； （2）解：∵圆的半径为8， ∴， 由勾股定理可得：， ∵， ∴． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 【答案】的半径为米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，连接交于，则米，米，，由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，连接交于点， 由题意得，米，米，， ∴米， 设的半径为米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为米． 9．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 【答案】这辆卡车能通过隧道 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理以及矩形性质的实际应用，灵活运用所学知识是解题关键． 作弦，且，过圆心O作于H，交于G，连接，在直角三角形中，由勾股定理求出，再求出隧道高，就可以判断． 【详解】解：如图，作弦，且，过圆心O作于H，交于G，连接， ，, ∴， 四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ， ∵， ， ， 这辆卡车能通过隧道． 10．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴ ，即小圆的半径r为 11．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理、三角形全等判定与性质、勾股定理： （1）连接并延长交于点，根据垂径定理可得，，再证明可得，由此即可得到结论； （2）设的半径为，在中根据勾股定理列出方程求出R，在中，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）解：设的半径为则， ∵，， ∴， 在中，， 解得， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $