精品解析：江西省新余市第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题

江西省新余市第一中学2023-2024学年度高三年级开学考数学试卷 第Ⅰ卷：选择题（共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列满足，则值为（ ） A. －3 B. 3 C. －12 D. 12 4. 已知角的终边上有一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为单位向量，且，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，平面，为正三角形，且边长为，，则该四面体的外接球的表面积是（ ） A. B. C D. 32π 7. 若函数（）在区间上是单调函数，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 对任意的，不等式恒成立，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 B. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4 C. 甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67 D. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5 10. 下列说法正确是（ ） A. 若，则函数的最小值为 B. 若都是正数，且， 则的最小值是3 C. 若，则的最小值是4 D. 已知，则的最大值为 11. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设，过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 为定值 C. 若当时，（为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为 D. 当时，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线的斜率的绝对值为 12. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则（ ） A. CP长度的最小值为 B. 存在点P，使得 C. 存在点P，存在点，使得 D. 所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为 第II卷：非选择题（共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 曲线在点处的切线方程为___________. 14. 已知直线与直线相交于点，点，为坐标原点，则的最大值为_____________. 15. 6名同学相约在周末参加创建全国文明城市志愿活动，现有交通值守、文明劝导、文艺宣讲三种岗位需要志愿者，其中，交通值守、文明劝导岗位各需2人，文艺宣讲岗位需1人．已知这6名同学中有4名男生，2名女生，现要从这6名同学中选出5人上岗，剩下1人留守值班．若两名女生都已经到岗，则她们不在同一岗位的概率为_______. 16. 若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列，满足，且数列是首项为的常数列． （1）求数列的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，求证：． 18. 在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C对边，已知，求： （1）A的大小； （2）的取值范围． 19. 在四棱锥中，底面是梯形，，，，侧棱． （1）证明：平面平面； （2）若，是的中点，求二面角的正弦值． 20. 现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求.某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的 120 名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示： 入住房间的类型 单人间 双人间 三人间 人数 36 60 24 （1）若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这 120 名老年人中随机抽取 10 人，再从这10人中随机抽取4 人进行询问，记随机抽取的4 人中入住单人间的人数为，求的分布列和数学期望. （2）记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的且人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型