第16讲—方阵问题（讲义）小升初六年级数学常考易考典型应用题人教版

人教版小升初六年级数学常见典型应用题讲练 第16讲◄►方阵问题 班级 姓名 得分 方法指导 日常生活中，往往需要把人或物摆成正方形的形式，如正方形的体操队列， 正方形花坛周围摆花盆、插旗子，还有正方形棋盘上摆棋子等问题。在数学上，人们通常称这类问题为方阵问题。 方阵分为实心方阵和空心方阵两种，空心方阵又有一层方阵、二层方阵……如下图所示： 实心方阵 一层空心方阵 二层空心方阵 方阵问题的基本特点是：在方阵中，同一层上每边的数量都相等。由方阵外层向里层数，每向里一层，每边的数量就减少2个。 方阵问题每边数与四周数之间的数量关系式是： 四周数=(每边数-1)×4 每边数=四周数÷4+1 实心方阵的数量关系式为： 总数=最外层每边个数×最外层每边个数 空心方阵的数量关系式为： 总数=(最外层每边数-层数)×层数×4 最外层每边数=总数÷4÷层数+层数 最里层每边数=最外层每边数-2×(层数-1) 经典例题解析 【例1】用鲜花排成一个中空方阵，最外层有52盆，最内层有28盆。这个方阵共有多少盆鲜花? 【解析】这个中空方阵最外层每边有52÷4+1=14(盆),最内层每边有28+4+1=8(盆)。方阵每向里一层，每边就减少2盆，因此，此方阵中空部分第一层每边盆数应为8-2=6(盆),中空部分可摆6×6=36(盆)。假设此方阵是一个实心方阵，则总盆数为14×14=196(盆),减去中空部分可摆的盆数，即196-36=160(盆),就是这个方阵实际共有的鲜花盆数。 【解答】 (52÷4+1)²-(28÷4+1-2)² =14²-6² =160(盆) 答：这个方阵共有160盆鲜花。 【例2】用围棋子排成二层空心方阵(如右图),最外层每边有8个棋子。求这个空心方阵的棋子总数。 【解析一】如图，空心方阵中棋子的总个数等于两个实心方阵中棋子的总个数的差。用大实心方阵最外层每边数的平方减去小实心方阵最外层每边数的平方求解。 【解答一】 8×8-(8-2×2)×(8-2×2) =8×8-4×4 =64-16 =48(个) 【解析二】如图，将方阵分成四个相等的部分，先求出每部分的个数，再求总数，用(最外层每边数一层数)×层数×4求解。 【解答二】 (8-2)×2×4 =6×2×4 =48(个) 答：这个空心方阵共有棋子48个。 【例3】学校进行广播操比赛，四年级全体同学恰好可以排成一个实心方阵。可学校操场较小，只好横、竖各减少一排，这样就减少了23人。四年级共有学生多少人? 【解析】横、竖各减少一排，那必然有1人是同时属于被减少的横排和竖排。因此去掉的横、竖各一排的总人数是：原每行人数×2-1,可推出原每行人数=(去掉的总人数+1)÷2。 【解答】 (23+1)÷2=12(人) 12×12=144(人) 答：四年级共有学生144人。 【例4】264名手捧和平鸽的少先队员在彩车周围排成一个三层方阵，求最外层每边有多少名少先队员。 【解析一】根据(最外层每边人数一层数)×层数×4=总人数，可得出最外层每边人数=总人数÷4÷层数=层数。 【解答一】 264÷4÷3+3 =22+3 =25(名) 【解析二】方阵中，最外面一层比里面第一层总数多8人，比里面第二层总人数多8×2=16(人)。假设给里面第一层增加8人，给里面第二层增加16人，这样就都和最外面一层人数同样多了，因此可以先求出最外层一共有多少名少先队员，再求出每边有多少名少先队员。 【解答二】 (264+8+8×2)÷3 =288÷3 =96(名) 96÷4+1=25(名) 答：最外层每边有25名少先队员。 实战演练 1.有一队士兵，排成一个实心方阵，最外层一周共有240人。这个方阵共有多少人? 2.某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果最外层每边有20个学生，那么这个空心方阵最里边一周有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生? 3.六一儿童节前夕，在校园雕塑的周围用204盆鲜花围成了一个三层的空心方阵，则最外面一层每边有鲜花多少盆? 4.三(1)班的学生参加体操表演，排成的队形正好是由每7人为一边的6个等边三角形组成的一个正六边形，如图。求： (1)正六边形一周共有多少学生? (2)三(1)班参加体操表演的共有多少学生? 5.现有松树和柏树以隔株相间的种法，种成9行9列的方阵(四个顶点处都是松树)。这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵?方阵中共有松树和柏树各多少棵? 6.六年级同学组建了一个实心的集体表演方阵，后来又增加了21人，正好也能排成一个实心方阵，只是最外层每边比原来增加了1人。这个方阵原来有多少人? 参考答案 1. (240÷4+1)