第14讲—统筹规划与最佳方案（讲义）小升初六年级数学常考易考典型应用题人教版

人教版小升初六年级数学常见典型应用题讲练 第14讲◄►统筹规划与最佳方案 班级 姓名 得分 方法指导 统筹规划问题也称最优化问题，它反映了人类在实践活动中十分普遍的现 象，要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益。因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用。作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化思想是十分有益的。 经典例题解析 【例1】妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用2分钟，拿茶叶要用1分钟。小明估算了一下，完成这些工作要20分钟。为了使客人早点喝上茶，按你认为在最合理的安排下，多少分钟就能沏茶了? 【解析】如右图，先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，同时可以洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了1+15=16(分)。又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须用1分钟洗水壶，所以用16分钟是最少的。 【解答】16分钟就能沏茶了。 【例2】用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎1个饼需要2分钟(假定正、反面各需1分钟)。问：煎3个饼至少需要几分钟? 【解析】如果只煎1个饼，显然需要2分钟； 如果煎2个饼，仍然需要2分钟； 如果煎3个饼，有人会认为至少需要4分钟：因为先煎2个饼要2分钟， 再单独煎第3个饼，又需要2分钟，所以一共需要4分钟。但其实这不是最佳方案，最佳方案应该是： 首先煎第1个和第2个饼的正面用1分钟； 接着煎第1个饼的反面和第3个饼的正面又用1分钟； 最后煎第2个和第3个饼的反面再用1分钟。 这样总共只用3分钟就煎好了3个饼。 【解答】煎3个饼至少需要3分钟。 【例3】5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟。如果只有一个水龙头，那么怎样适当安排他们的打水顺序，才能使5个人排队和打水时间的总和最少?请求出最小值。 【解析】因为水龙头只有1个，所以一个人打水时，其余人都在等候。而由于水龙头水速不会变化，所以省时不能在打水中省，只能在等候时间上合理安排。所以按“把占用时间少的事情先进行”的原则，应让打水时间短的人先打水，这样后面的人等候的时间就短，所花的总时间就少。 排队的顺序是：打水需1分钟的人排在第一位，打水需2分钟的人排在第二位，打水需3分钟的人排在第三位，打水需4分钟的人排在第四位，打水需5分钟的人排在第五位。所以共用时1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35(分)。因此，这个最小值为35分钟。 【例4】有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载质量是5吨，小卡车的载质量是2吨，大卡车与小卡车每辆车的耗油量分别是10升与5升。问：如何选派车辆，才能使运输耗油量最少?这时共需用油多少升? 【解析】依题意，大卡车满载时每辆车平均每吨耗油量为10÷5=2(升),小卡车满载时每辆车平均每吨耗油量为5÷2=2.5(升)。为了减少耗油量，应尽量选派大卡车运输，又由于157=5×31+2,因此，最优选派方案是派31辆大卡车及1辆小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，共需耗油10×31+5×1=315(升)。 【解答】选派31辆大卡车和1辆小卡车运输，耗油量最少；共需用油 【例5】从甲地租用汽车运货物62吨到乙地，已知大车每次可运10吨，运费200元；小车每次可运4吨，运费95元。 (1)请设计三种不同的租车方案，并分别算出每种方案的总费用。 (2)请设计出总费用最少的方案。 【解析】如果不考虑运费，方案可以有很多种，可以全用大车，也可以全用小车，还可以合用大车、小车若干辆。 要考虑运费最少，首先要比较大车和小车运每吨货物的费用各是多少，然后尽量选择运每吨货物费用较低的车，还要考虑每车要装满，这样才能达到总费用最少的目的。 【解答】 (1)方案有很多种，列举三种如下： 方案一：全部租用大车，总运费是：62÷10≈7(辆) 200×7=1400(元) 方案二：全部租用小车，总运费是：62÷4≈16(辆) 95×16=1520(元) 方案三：租6辆大车，1辆小车，总运费是：200×6+95=1295(元) (2)200÷10=20(元) 95÷4=23.75(元) 20<23.75,所以尽量选择大车。 10×5+4×3=62(吨) 200×5+95×3=1000+285=1285(元), 租5辆大车，3辆小车总费用最少。 答：(2)总费用最少的方案是选5辆大车，3辆小车，运费是1285元。 【例6】希望小学要买50个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择。三个商店足球的单价都是25元，但每个商店的优惠方法