第12讲—容斥问题（讲义）小升初六年级数学常考易考典型应用题人教版

人教版小升初六年级数学常见典型应用题讲练 第12讲◄►容斥问题 班级 姓名 得分 方法指导 我们知道，求两个数的和，只要将两个数直接相加就可得到结果。但是在有些情况下，却不能直接相加，它关系到重复部分数量的问题。我们把这类问题称为容斥问题。 基本公式： (1)两个对象的容斥原理： A,B的总数=A+B-A与B的重叠部分，如图1。 (2)三个对象的容斥原理： A,B,C 的总数=A+B+C-A与B的重叠部分-B与C 的重叠部分-C与A的重叠部分+A,B,C的重叠部分，如图2。 经典例题解析 【例1】学校六年级有数学和科技两个兴趣小组，参加数学小组的有16人， 参加科技小组的有20人，两个小组都参加的有5人。两个兴趣小组的学生共有多少人? 【解析】如右图，要求两个兴趣小组的学生共有多少人， 不能用16人和20人相加得到，因为在16人中包含有两个 小组都参加的5人，在20人中也包含有这5人。重复包含 的这5人加了两次，因此，要从16人 与20人的和中减去重复计算的5人。 【解答】 16+20-5 =36-5 =31(人) 答：两个兴趣小组的学生共有31人。 【例2】50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1,2, 3, …,49,50依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名? 【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类： 第一类，所报的数既不是4的倍数，又不是6的倍数的学生；第二类，所报的数既是4的倍数，又是6的倍数的学生。 1~50中，4的倍数有(个),6的倍数有(个),既是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有(个)。 于是，第一类同学有50-12-8+4=34(名),第二类同学有4名，所以现在共有34+4=38(名)同学面向老师。 【解答】现在面向老师的同学还有38名。 【例3】某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语 文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。同时喜欢语文和数学但不喜欢外语 的有6人，同时喜欢数学和外语但不喜欢语文的有4人，三科都喜欢的有12人， 而且每人至少喜欢一科。问：有多少同学只喜欢语文? 【解答】 如图，设同时喜欢语文和外语但不喜欢数学的有人。 根据容斥原理得： 58+52+38-(6+12+12++12+4)+12=100 解得：=14 58-6-12-14=26(人) 答：有26人只喜欢语文。 【例4】有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米做一记号，每隔4厘米也做一记号，然后将标有记号的地方剪断。问：绳子共被剪成了多少段? 【解析】只需先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数。 1~180中，3的倍数有(个),4的倍数有(个),而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数(个)。 注意到180厘米处无法做上记号，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89(次),因此绳子被剪成了89+1=90(段)。 【解答】绳子共被剪成了90段。 实战演练 1.某校一个歌舞表演队里，每人至少能表演独唱或跳舞中的一种，已知能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人。这个表演队共有多少人? 2.一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文竞赛，12人两项竞赛都参加了。问：一班有多少人两项竞赛都没有参加? 3.甲、乙两家合住在一套单元房里，甲家能够使用的面积(包括厨房、卫生间、走廊等，下同)有56平方米，乙家能够使用的面积有65平方米，甲、乙两家都能使用的面积有30平方米。求这套单元房的使用面积。 4.某中学七年级96名学生中，每人至少会象棋和围棋中的一种，其中有的学生会下象棋， 有的学生两样都会。会下围棋的有多少名学生? 5.有12个人去饮品店，有6人要可乐，有5人要咖啡，有5人要果汁。有3人既要可乐又要咖啡，有2人既要咖啡又要果汁，有3人既要可乐又要果汁，有1人可乐、咖啡、果汁都要。有没有什么冷饮都没有要的人?如果有的话，有几人? 参考答案 1. 10+18-7=21 (人) 2. 45-(26+22-12)=9(人) 3. 56+65-30=91(平方米) 4. 96×()=64(名) 5. 6+5+5-3-2-3+1=9(人) 12-9=3(人)；有，有3人。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$