第02讲-常用逻辑用语讲义-2023-2024学年高一上学期期中数学复习专题

第02讲 常用逻辑用语 1、 考情分析 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系； 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义； 3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定. 2、 知识梳理 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为p，读作“非p”) 　名称 形式　　 全称命题 存在性命题 结构 对M中的所有x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 否定 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，p(x) [方法技巧] 1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同. 2.A是B的充分不必要条件⇔B是A的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 3、 经典例题 考点一　充分条件与必要条件的判断 【例1-1】设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-2】设集合A，B是全集U的两个子集，则“A⊆B”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-3】设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ） A． B． C． D． 【例1-4】《左传》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”则“有毛”是“有皮”的（ ）条件. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-5】求证：是等边三角形的充要条件是.（这里a，b，c是△ABC的 三条边） 规律方法　充要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断. (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 考点二　全称量词与存在量词　 【例2-1】命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 【例2-2】设命题， ，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 【例2-3】已知命题是真命题，则实数的取值范围是___________. 【例2-4】已知命题，成立，命题，不成立，若p假q真．求实数a的取值范围． 规律方法　1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论. 2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 考点三　充分条件、必要条件的应用　 【例3-1】已知命题关于的不等式的解集为，，，试判断“为真命题”与“为真命题”的充分必要关系． 【例3-2】已知命题：“，使等式成立”是真命题． （Ⅰ）求实数的取值集合； （Ⅱ）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围． 规律方法　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. (3)数学定义都是充要条件. [思维升华] 1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 (1)定义法 (2)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}； ①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件. 2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否