难关必刷02全等三角形综合（5种解题模型专练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

难关必刷02全等三角形综合（5种解题模型专练） 【模型梳理】 模型一：一线三等角 图一 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 图二 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 模型二：“手拉手”旋转模型 图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七 模型三：截长补短 有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 模型四：倍长中线 图一 图二 图三 3、过端点向中线作垂线 模型五：半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN， ∴BM+DN=MN[来源，AMB=∠AMN，B=AH △CMN的周长等于正方形周长的一半 在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 【题型专练】 模型一：一线三等角 一．解答题（共7小题） 1．（2022秋•孝昌县期中）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．若α＝90． （1）如图1，b＝1，求点C的坐标； （2）如图2，若D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB． 2．（2022秋•浠水县期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 　 　，CE与AD的数量关系为 　 　； （2）如图②，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系； （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 3．（2022秋•和平区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 4．（2022秋•岳阳楼区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，直接写出DE、AD、BE的关系为：　 　 （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 5．（2022秋•沙洋县期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB； （2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90