第1章全等三角形（探究全等三角形中常见模型之三垂直模型+一线三等角模型+半角模型+手拉手模型+旋转模型）2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形 (探究全等三角形中常见模型之三垂直模型+一线三等角模型+半角模型+手拉手模型+旋转模型) 【典型例题】 题型一:三垂直模型 【例题】如图所示,D,A,E在同一条直线上,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E,且△ABD≌△CAE,AD=2cm,BD=4cm,求: (1)DE的长; (2)∠BAC的度数. 【变式训练】 1.如图,D、A、E三点在同一条直线上,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,且△ABD≌△CAE,AC=4. (1)求∠BAC的度数; (2)求△ABC的面积. 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是∠ACB内部一点,连接CE,作AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为点D,E. (1)求证:△BCE≌△CAD; (2)请直接写出AD,BE,DE之间的数量关系: . 3.如图(1)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. (1)求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE. (2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,DE、AD、BE又怎样的关系?并加以证明. 4.阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明. 已知:如图,点E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE. 求证:AB=CD. 分析:证明两条线段相等,常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等,因此,要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形. (1)现给出如下两种添加辅助线的方法,请任意选出其中一种,对原题进行证明. ①如图1,延长DE到点F,使EF=DE,连接BF; ②如图2,分别过点B、C作BF⊥DE,CG⊥DE,垂足分别为点F,G. (2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线,并对原题进行证明. 题型二:一线三等角模型 【例题】【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一,请根据以下问题,把你的感知填写出来: 如图1,是等腰直角三角形,,AE=BD,则_; 如图2,为正三角形,,则_; 【变式训练】 1.(1)如图(1),已知:在中,,,直线经过点,直线,直线,垂足分别为点、.证明:. (2)如图(2),将(1)中的条件改为:在中,,、、三点都在直线上,并且有.请直接写出线段、和之间的数量关系. (3)拓展与应用:如图(3),、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合),点为平分线上的一点,且和均为等边三角形,连接、,若,试证明. 2.(1)【问题情境】有这样一个问题:如图1,把一块三角板()放入一个“”形槽中,使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动,已知,在滑动过程中,你发现线段与有什么关系?试说明你的结论; (2)【变式探究】小明在解决完这个问题后,将其命名为“一线三等角”模型;如图2,在中,点、、分别在边、、上,若,则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角.请你写出其中的一组,并加以说理; (3)【拓展应用】如图3,在中,,,点、分别是边、上的动点,且.以为腰向右作等腰,使得,,连接. ①试判断线段、、之间的数量关系,并说明理由; ②如图4,已知,点是的中点,连接、,直接写出的最小值. 题型三:半角模型 【例题】如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E为BC边上两点,∠DAE=45°,过A点作AF⊥AE,且AF=AE,连接DF、BF.下列结论:①△ABF≌△ACE,②AD平分∠EDF;③若BD=4,CE=3,则AB=6;④若AB=BE,S△ABD=,⑤∠FAE=90°;⑥BD+EC=DE;⑦BD+EC2=DE2其中正确的个数是 (填写序号) 【变式训练】 1.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,,,,E为CD上一点,且. 若CD=4,则△ABE的面积为_. 2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF是∠BAD的一半,那么结论EF=BE+FD是否成立?若成立,请证明;不成立,请说明理由. 3.综合与实践 (1)如图1,在四边形ABCD中,BC∥AD,AB=BC,∠A+∠C=180°,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=∠ABC,试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明. (2)如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在DA、CD的延长线上,若∠MBN=∠ABC,试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 . 图2 图1 4.问题背景: 如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,