专题—数列的求和讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列前n项和 1、 常用数列求和公式 1、等差： （1） （2） 等比：= 2、 ， ， ， 注意：求等差数列前n和时，有一个重要的求和思想：倒序相加法 2、 倒序相加法： 等差数列： 可使用倒序相加法的关键： 【例1】求和： 解：因为； 【例2】求和： 解：因为，所以 【例3】求和： 解：因为，所以 高考考法： 倒序相加法和函数结合：若函数为中心对称函数，可用倒序相加法求和 【例4】________ 解：, 验证是否成立， 因为， ， 所以 这道题都用了倒序求和，那它们有什么原理呢：我们研究一下第二题；改写一下 ，所以函数关于中心对称，对于等差数列，其本质是一次函数，图像是一 条直线，也是中心对称函数 【例5】_______ 解：, 因为，，所以，函数关于中心对称 （注意：，这种形式都是中心对称图形，都可以用倒序求和） 【例6】已知函数对任意都有 （1） 求的值 （2） 若数列满足，数列是等差数列吗？试证明 解：（1） （2） 三、差比数列：等差数列和等比数列相乘（方法：错位相减法）（高考常考） 若数列{}的通项公式为，其中{}为是公差为d的等差数列，{}是公比为q的等比数列，用错位相减法来求{}的前n项和，具体步骤： 第一步（列举）：先写成前n项和①；（规范：前两项，后一项） 第二步（错位）：式①等号两边同乘等比数列的公比q，得式② （规范：次数对齐，系数减d，抄写） 第三步：①—②等（规范：前后单列，中间求和） 第四步：化简求出，一定是“一次函数指数+常数” （利用待定系数法（次数和系数），可求出，其中根据常数等到） 什么是方法：识别标志—操作规范—效果效率 识别：， 列举：前2后1 错位：次数对齐，系数减d 相减：前后单列、中间求和 化简：先调平，再待定， 【例1】已知，求数列 解： ① 2② ①—②得：- 化简： 苹果公式：因为，，， 所以， 所以 【例2】求数列的前n项和 解： ① ② ①—②得= 苹果公式：因为，，， 所以， 所以 【例3】已知，，则数列的前项和_______ 解： ①—②得 【例4】已知，，则数列的前项和_______ 解 ： ①—②得: 化简得： 苹果公式：，，， 所以, 所以 四、裂项求和 1、等差型（通分的逆运算） ①：， ② ③ 本质：等差数列的复合（等差乘等差） （直接写步骤） （直接写结果） 识别：①等差型 ②分母是相邻项 操作：分母大根上移，原来位置换成1 【例1】已知数列{}的通项公式为，求 解：= 【例2】若数列的通项公式为，则其前项和_______ 解： 【例3】已知数列的通项公式为，则______ 解：，所以 【例4】数列的首项，且（），令，则 的前项的和________ 解：，所以是以3为公比，3为首项，所以，所以 ，所以， 所以，所以 思考：（此为相邻两项，若不相邻又如何？按此方法再推到） 2、其他分式型：先砍一刀、再配系数 【例5】已知数列的前n项和为，证明：对于任意的，都有 解：不是等差型：先分开，在配系数 【例6】若是等比数列，且，，令，求数列的前项和 解：，所以 所以 若形式，可分子分母同乘得： 一刀法： 【例7】已知数列{}的通项公式为，求 解： 【例8】设数列的通项公式为，为其前项和，则数列的前9项 和______ 解：， ； 【例9】已知数列是等差数列，前项和为，且， （1） 求和 （2） 设，前项和为，求 解：（1），，所以，所以 （2） 3、对数型：（） 4、根式型：（） 【例10】已知函数的图像过点，令，记数列的前项和为， 则 解：，所以， 五、分组求和法（求和手段） 1、拆项分