第四章数列专题—求通项公式讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

求通项公式 求通项体系： 1、累加法：，本质工作求和 2、常数法：，构造等比数列 3、倒数法：，构造等差数列 4、对称法：，把相同系数和下标整理到一起，构造等差数列 5、规律法（以上方法都不行）：当非常大时，①把变成去找 ②把代入去找 一般和周期有关 6、和同时出现： 注意：目前高考都给辅助数列，我们要做的就是听话，接好助攻 一、累加法 形如: 且数列{}可求和，通常用累加法求通项公式 累加法方法如下: 由递推关系得：-=即 … 以上（n-1）个算式两边分别相加，得 【例1】（1）已知数列{}满足，，求 解：=，检验两项 （2）已知数列{}满足，，求 解： 检验两项 【例2】数列{}满足，，则数列的前10项和为____ 解：累加法： ，， 二、常数数：构造等比数列 待定系数法： ①设； ②乘开后对照递推公式求出； ③构造出{}，从而求出 求小技巧：（如：） 【例3】已知，，求 解：设，设， 首项为2，共比为3的等比数列， 【例4】已知，，求 解：构造等比：，设，首项为2，公比为2的等比数列， 三、倒数法：构造等差数列（此结构直接取倒数构造等差数列） 步骤：①两边同除 ② 设，原式变为 ③构造出等差，从而求出 注意：如果题中出现或或这种结构，处理方法有两种 ①取倒数，构造等差，②裂项相消 【例5】已知，，求 解；两边同除得：，设，则有， 所以是首项的等差数列，所以 【例6】已知，，求 解：两边同时取倒数：，设， 构造等比，设， 首项为2，公比为4的等比数列 【例7】已知，，求 解：取倒数 ，设， 构造等比，设， 首项为2，公比为2的等比数列 【例8】设是数列{}的前n项和，且，，则__________ 解：此题坑了无数的爹 分析；当和同时出现时，处理为：；时， 很多同学会这样处理：；，两式相减，没法处理了，出问题原因：本题所求为不是，所以消 正确方式；，同除得， 所为首项是-1，的等差数列，所以 四、对称法：，把相同系数和下标整理到一起，构造等差数列 【例9】若数列满足，，求 解：累乘法：（利用累乘法） 构造法：， 设，则有，所以为常数列，，所以 【例10】若数列满足，，求 解： 构造法：左右同除得：，设，则有， 所以为公差为1，的等差数列，解得。所以 【例11】若数列满足，，求 解：构造法：左右同除得：，设，则有， 累加法解得，所以 【例12】若数列满足，，求 解：构造法：化简，同除得， 设，则，（），可得，则首项为4，公比为2的等比数列，解得，所以，所以 其他 【例13】，，求 类比常数法： 构造等比：设， ，设，首项为4，公比为3的等比数列 【例14】，，求 分析：；通常用构造等差 构造等差数列：具体步骤是: ①数列两边同除；②；③构造出，为等差数列 ④利用累加法求出 解：构造等差：两边同除以，， 设（累加法） 【例15】，，求 解： 构造等差：两边同除以，， 设，首项为3，公差为1，所以，所以 【例16】已知，，求数列的通项公式 分析：无论是累加法、常数法、倒数法，和的次数都是相同。本题次数不同， 关键在于使次数相同（取对数） 解：等式两边加1， 两边同取对数 则数列是首项为1，公比为2的等比数列 所以，所以 五、规律法（以上方法都不行）：当非常大时，①把变成去找 已知②把代入去找 一般和周期有关 【例17】已知数列满足，求 解：找规律：把变成去找 ①—②等：，所以为常数列 【例18】数列满足，则的前60项和为（ ） A、3690 B、3660 C、1845 D、1830 解：先要找规律和周期、要奇偶分开考虑 第一步：把右侧相加：（此处项数易错，两项为一项，共有30项） （不是最后答案，少，多） 第二步：用右侧减去左侧：，所以，答案为D 【例19】数列满足，已知数列的前16项和为540，则________ 解：先要找规律和周期、要奇偶分开考虑 当为偶数时，； 当奇数时， 第