专题14 直线的交点坐标与距离公式10种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题14 直线的交点坐标与距离公式10种常见考法归类 1、两条直线的交点坐标 （1）求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可． （2）应用：可以利用两直线的交点个数判断两直线的位置关系． 一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组 当方程组有唯一解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组无解时，l1与l2平行； 当方程组有无数组解时，l1与l2重合． 注：若两直线的方程组成的方程组有解，两直线不一定交于一点，两条直线是否交于一点，取决于联立两条直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合． 2、两点间的距离公式 （1）公式：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. （2）文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． （3）坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广． 注：（1）两点间的距离公式中点P1，P2的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为|P1P2|＝. （2）对于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y1－y2|. （3）式子的几何意义是点(x，y)与原点(0,0)的距离． 3、坐标法(或解析法) （1）坐标法的定义 通过建立平面直角坐标系，设出已知点的坐标，表示出未知点的坐标，把几何问题转化为代数问题，从而通过代数运算解决几何问题，这种解决问题的方法叫做坐标法，也称为解析法． （2）坐标法解决问题的一般步骤 ①建立适当的平面直角坐标系； ②设出已知点的坐标，表示出未知点的坐标； ③利用已学的坐标公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论； ④得到几何问题的结论． 用框图表示如图 4、点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝. 注：（1）在点到直线的距离公式中，直线l的方程是一般式．若直线l的方程为y＝kx＋b(斜截式)，则可化为kx－y＋b＝0，故P(x1，y1)到直线l的距离d＝. （2）若直线是如下几种特殊直线，则点到直线的距离为 ①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； ②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； ③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|； ④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|. （3）点到直线的距离是点与直线上点的连线的长度的最小值，如图，OP⊥l，A是直线l上不同于P的任意点，在Rt△OPA中，|OA|>|OP|(直角三角形中，斜边大于直角边)，所以点到直线的距离是点与直线上点的连线的长度的最小值． （4）已知点P(x0，y0)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小值． （5）点到直线距离的向量表示 如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，就是在n上的投影向量，点P到直线l的距离||＝|·n|. 5、两条平行直线间的距离 已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2之间的距离为d＝. 注：（1）l1与l2之间的距离公式推导： 在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－C1.点P到直线l2的距离为d＝＝. （2）两条平行线x＋y－1＝0,2x＋2y＋5＝0之间的距离是d＝＝3吗？不是．虽然两条平行直线的方程均为一般式方程，但是两直线方程中x，y的系数不满足分别相等．所以应把两方程系数统一，即2x＋2y＋5＝0化为x＋y＋＝0，再求距离d＝＝. 6、两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 注：判断两直线的位置关系，关键是看将两直线的方程联立所得的方程组的解的情况．解题过程中应注意： (1)解方程组的一个重要方法是消元法，即先消去一个变量，将二元一次方程组转化为一元一次方程并求解，再将所求得的值代入任意一个方程解出变量的值； (2)若方程组中含有参数，则应对其进行分类讨论； (3)最后一定要将方程组解的情况还原为直线的位置关系． 7、过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．　　 注：对于求过两直线交点的直线方程，可先求出交点坐标再结合其他条件求出直线方程；也可根据直线系方程利用待定系数法求解． 8、计算两