专题15 圆的方程6种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题15 圆的方程6种常见考法归类 1、圆的标准方程 （1）圆的定义 ①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合定点称为圆心，定长称为圆的半径． ②圆的要素：是圆心和半径，如图所示． （2）圆的标准方程 ①圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ②圆心在原点，半径长为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 注：若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？ 圆的半径不一定是a，当a>0时，半径是a；当a<0时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2化为标准形式是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2. 2、点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系 点A与圆O有三种位置关系：点在圆外(图①)，点在圆上(图②)，点在圆内(图③)． （2）判断点与圆的位置关系的方法 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判定方法 几何法 代数法 点在圆上 |MC|＝r⇔点M在圆C上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 |MC|<r⇔点M在圆C内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 点在圆外 |MC|>r⇔点M在圆C外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 3、圆的一般方程 对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 配方得到：2＋2＝. (1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心，为半径的圆； (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点； (3)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形． 当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆，称为圆的一般方程． 注：(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程不是都表示圆，圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点： ①x2，y2项的系数均为1； ②没有xy项； ③D2＋E2－4F＞0. (2)已知P(x0，y0)，圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，如果x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0，那么点P一定在圆内，圆的方程化为标准方程得2＋2＝，由x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0可变形得2＋2<，因此点P在圆内． 4、动点的轨迹方程 在直角坐标平面上，一个动点按照某种规律运动，所形成的曲线称为这个动点的轨迹，曲线的方程称为动点的轨迹方程． 求轨迹方程的一般步骤为： (1)建系：建立适当的平面直角坐标系； (2)设点：设出动点M的坐标，并标明限制范围； (3)列式：列出关于未知量的方程； (4)化简：化方程为最简形式； (5)证明：证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 说明：因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤(5)可以省略不写，如果有特殊情况，可适当予以说明． 注：轨迹和轨迹方程： (1)“轨迹”与“轨迹方程”有区别．“轨迹”是图形，指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． (2)求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程． 5、求圆的标准方程的常用方法 求圆的标准方程的常用方法包括几何性质法和待定系数法. 1由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何性质法可以简化运算.常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. 2由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程.这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心a，b是圆的定位条件，半径长r是圆的定形条件. 6、判断点与圆的位置关系的方法 1从形的角度，比较圆的半径与圆心到定点的距离的大小，从而作出判断.利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．　 2从数的角度，将定点的坐标代入圆的标准方程的左边，再与右边的值比较，从而作出判断.(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系． (3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y