江西省新余市第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试卷

江西省新余市第一中学2023-2024学年度高三年级开学考数学试卷 第Ⅰ卷：选择题（共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3.已知等差数列满足，则的值为( ) A.－3 B.3 C.－12 D.12 4.已知角的终边上有一点，则的值为( ) A. B. C. D. 5.已知，为单位向量，且，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 6.在四面体中，平面，为正三角形，且边长为，，则该四面体的外接球的表面积是( ) A. B. C. D.32π 7.若函数()在区间上是单调函数，则的取值可以是( ) A. B. C. D. 8.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值集合是( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.下列命题是真命题的有( ) A.分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 B.某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4 C.甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67 D.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5 10.下列说法正确的是( ) A.若，则函数的最小值为 B.若都是正数，且， 则的最小值是3 C.若，则的最小值是4 D.已知，则的最大值为 11.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设.过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是( ) A.的最小值为 B.为定值 C.若当时，（为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为 D.当时，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线的斜率的绝对值为 12.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则( ) A.CP长度的最小值为 B.存在点P，使得 C.存在点P，存在点，使得 D.所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为 第II卷：非选择题（共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.曲线在点处的切线方程为 . 14.已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为 . 15.6名同学相约在周末参加创建全国文明城市志愿活动，现有交通值守、文明劝导、文艺宣讲三种岗位需要志愿者，其中，交通值守、文明劝导岗位各需2人，文艺宣讲岗位需1人．已知这6名同学中有4名男生，2名女生，现要从这6名同学中选出5人上岗，剩下1人留守值班．若两名女生都已经到岗，则她们不在同一岗位的概率为 . 16.若不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知数列，满足，且数列是首项为的常数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：． 18.在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，求： (1)A的大小； (2)的取值范围． 19.在四棱锥中，底面是梯形，，，， 侧棱． (1)证明：平面平面； (2)若，是的中点，求二面角的正弦值． 20.现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求.某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的 120 名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示： 入住房间的类型 单人间 双人间 三人间 人数 36 60 24 (1)若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这 120 名老年人中随机抽取 10