江西省新余市第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试卷

江西省新余市第一中学2023-2024学年度高三年级开学考数学试卷

第Ⅰ卷：选择题（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则(    )

A.             B.               C.              D.

2.复数满足，则的虚部是（    ）

A． B． C． D．

3.已知等差数列满足，则的值为(    )

A.－3    B.3                C.－12                D.12

4.已知角的终边上有一点，则的值为(    )

A. B. C.   D.

5.已知，为单位向量，且，则与的夹角为(    )

A.     B.     C.        D.

A.              B.               C.               D.32π

 

7.若函数()在区间上是单调函数，则的取值可以是(    )

A. B. C. D.

8.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值集合是(    )

A.             B.              C.             D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.下列命题是真命题的有(    )

A.分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30

B.某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4

C.甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67

D.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5

10.下列说法正确的是(    )

A.若，则函数的最小值为

B.若都是正数，且， 则的最小值是3

C.若，则的最小值是4

D.已知，则的最大值为

11.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设.过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是(    )

A.的最小值为                 

B.为定值

C.若当时，（为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为

D.当时，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线的斜率的绝对值为

12.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则(    )

  A.CP长度的最小值为

B.存在点P，使得

C.存在点P，存在点，使得

D.所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为

第II卷：非选择题（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.曲线在点处的切线方程为              .

14.已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为             .

15.6名同学相约在周末参加创建全国文明城市志愿活动，现有交通值守、文明劝导、文艺宣讲三种岗位需要志愿者，其中，交通值守、文明劝导岗位各需2人，文艺宣讲岗位需1人．已知这6名同学中有4名男生，2名女生，现要从这6名同学中选出5人上岗，剩下1人留守值班．若两名女生都已经到岗，则她们不在同一岗位的概率为              .

16.若不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是               ．

 

 

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，记数列的前项和为，求证：．

(1)A的大小；

(2)的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.在四棱锥中，底面是梯形，，，，

侧棱．

(1)证明：平面平面；

(2)若，是的中点，求二面角的正弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i)试用含的代数式表示;

(ii)若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为的概率，试求的最大值及此时的值.

 

 

(1)求证：点在定直线上；

(2)直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标：

 

 

 

 

 

 

 

22.已知函数.

(1)求时，函数有两个零点，求实数的取值范围；

(2)令，函数有两个零点和，且，当变化时，若有最小值(为自然对数的底数)，求常数的值.

 

 

 

 

 

2024届高三年级开学考数学参考答案

一、选择题：

1.【答案】B 解不等式得，又，所以，

即集合，所以，

2.【答案】A  ，虚部为

3.【答案】B 由等差中项的性质可得，，解得，

∵，∴．

4.【答案】C 角的终边上有一点，根据三角函数定义得，所以

.

5.【答案】C

6.【答案】D在底面正三角形的外心作直线l⊥底面ABC，则球心O必在直线l上.

过SA的中点D作DO⊥SA交直线l于O.

因为为正三角形，且边长为，所以.

因为平面，⊥面ABC，所以∥.

因为DO⊥SA，平面，平面，

所以平面.

又面面=,所以.

所以四边形为平行四边形，所以.

所以外接球的半径.

所以外接球的表面积为.

7.【答案】B 令，，则，

因为函数在上单调，所以，

且或，

即或，解得或，因此，的取值可以是.

8.【答案】A 由题意，知，令，，则，

所以在上单调递增，易知，

所以当时，；当时，.

令，

则对任意的，不等式恒成立，

等价于当时，，当时，.

当时，，则函数在上单调递增，

所以是的零点，即，

即，即.

构造函数，则，函数在上单调递增，

由，得，所以，即.

令，则，函数在上单调递增，

易知，故.

二、选择题：

9.【答案】BD 对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A错误；

对于选项B：样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项B正确；

对于选项C：甲、乙两队的人数之比为，则甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为，故选项C错误；

对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，则该组数据的分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确.

10.【答案】BCD 对于A，函数，

∵，∴，∴，

当且仅当，即时，取等号

∴，即函数的最大值为，故A错误；

对于B，由，可得，则.