精品解析：福建省厦门第二中学2023-2024学年高二上学期第一次月考（9月）数学试题

厦门二中2023-2024学年第一学期高二年段第一次月考数学科试卷 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟. 第I卷（选择题共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，若点，，则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 2. 已知点，，则线段中点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（　　） A. 若平面，则动点Q轨迹是一条线段 B. 存在Q点，使得平面 C. 当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么Q点的轨迹长度为 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论正确是（ ） A. 任意向量，若，则或或 B. 已知，，，则点C到直线AB的距离为 C. 已知向量，若，则为钝角 D. 若，，是不共面的向量，则，，的线性组合可以表示空间中的所有向量 10. 在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（ ） A. B. C. 2 D. 11. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 平行六面体的体积为 12. 如图六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，则（ ） A. CD⊥平面ABC B. AC与BE所成角的大小为 C. D. 该六面体外接球的表面积为3π 第II卷(共70分) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已用，，则在方向上的投影向量为__________． 14. 如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________. 15. 在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为．阅读上面材料，并解决下列问题：给出平面的方程，经过点的直线l的方程为，则直线l的一个方向向量是__________，直线l与平面所成角的余弦值为__________． 16. 卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标.卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则球心到该四棱锥侧面的距离为________. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，为的中点，且，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出四点的坐标； （2）求． 18. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 19. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，侧棱的长为3，且，N是的中点，设，，． （1）用、、表示向量，并求的长； （2）求证：平面． 20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，M，N分别为棱PD，BC的中点，. （1）求证：平面PAB； （2）求直线MN与平面PBD所成角的正弦值. 21. 如图，在三棱台中，若平面，，，，为棱上一动点（不包含端点）． （1）若为的中点，在图中过点作一个平面，使得平面．（不必给出证明过程，只要求作出 与棱台的截面）； （2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由． 22. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相