专题02 空间向量的应用（13大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【提分笔记】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 空间向量的应用 知识点1 直线的方向向量与平面的法向量 1、直线的方向向量的定义及表示 （1）定义：若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。 （2）空间直线的向量表示式：直线l的方向向量为a，且过点A。如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 2、平面的法向量的定义及表示 （1）定义：如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量； 过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 （2）利用待定系数法求平面法向量的步骤 ①设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) ②选向量：在平面内选取两个不共线向量， ③列方程组：由列出方程组 ④解方程组： ⑤赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) ⑥得结论：得到平面的一个法向量 知识点2 空间中直线、平面的平行 1、线线平行的向量表示： 若分别为直线的方向向量，则使得 . 2、线面平行的向量表示 法1：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行的向量表示 设分别是平面的法向量，则，使得. 知识点3 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直的向量表示： 若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直的向量表示：设直线的方向向量，是平面的法向量， 法1：，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直的向量表示：设分别是平面的法向量，则. 知识点4 向量法求空间夹角 1、异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 2、直线与平面所成角 （1）夹角定义：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则. （2）利用空间向量求异面直线所成角的步骤： ①建立适当的空间直角坐标系， ②求出两条异面直线的方向向量的坐标， ③利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， ④结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。 3、平面与平面的夹角 （1）平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. （2）若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 知识点5 向量法求空间距离 1、点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 3、线面距与面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 （1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 （2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 考点1 向量法解决线线平行问题 【例1】（2023春·高二课时练习）已知直线的方向向量分别为和，若，则 . 【变式1-1】（2023秋·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：． 【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：. 考点2 向量法解决线面平行问题 【例2】（2022秋·福建泉州·高二校考期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE． 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面； 【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点. 求证：平面. 【变式2-4】（2023·全国·高二专题练习）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.求证：平面； 考点3 向量法解决面面平行问题 【例3】（2023秋·高二课时练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ） A．－3 B．－4 C．3 D．