2.2.1不等式及其性质-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

2.2.1不等式及其性质 你见过图中的高速公路指示牌吗? 左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶, 而且小客车的速率 (单位:km/h , 下同) 应该满足： ； 右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶, 而且车的速率 应该满足： 在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具.这节课我们一起来学习一下吧. 1.会用不等式表示不等关系.（重点） 2.会用作差法比较大小.（重点） 3.掌握不等式性质并能比较大小、证明不等式.（难点） 探究点1 不等关系与不等式 我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式. 思考1：,,这三个命题都是真命题吗？ 或 或 思考2：实数与数轴上的点有怎样的对应关系？右边的点表示的实数与左边的点表示的实数谁大？ 实数与数轴上的点是一一对应的,右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大. 真命题 A a B b 思考3：对任意两实数和，它们可能有怎样的不等关系？如何来判断这种不等关系呢？ 数轴上两点A，B的位置关系有下列三种： 点A和点B重合、点A在点B右侧、点A在点B左侧 两实数,的大小有下列三种关系： ，， 通过作差与“0”比较大小，即可判断两实数(或代数式)大小. 例1 比较和的大小. 【解析】因为 又因为,所以 从而 因此，. 作差 变形 判断 结论 因式分解、配方、通分等手段 你能总结出用作差法比较两实数大小的步骤吗？ 跟踪训练：比较下列代数式的大小. （1）和；（2）和（） 【解析】 （1）因为 又因为, 所以 从而 因此，. （2）因为 因为,所以 又因为 所以 因此，. 探究点2 不等式的性质 思考1：初中已学过的不等式的性质有哪些？试用作差法给出证明. 性质1 如果,那么. 性质2 如果,那么. 性质3 如果,那么. 证明1：因为, 又因为,所以,从而, 因此，. 证明2：因为,又因为,所以, 而,因此，. 证明3：因为,又因为,所以, 而,因此，. 【练一练】1.用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空： （1）是的 条件； （2）如果,则是的 条件； （3）如果,则是的 条件. 2.用“”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ；（4）当 时，. 充要 充要 充要 > > < < 思考2：（1）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？ （2）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？ 结合这两个例子，你能归纳出不等式还有哪些性质吗？ 性质4：如果,那么.（传递性） 证明：因为 又因为,所以;且,所以, 因此,从而即. 性质5：.（对称性） 证明：因为 所以,即. 性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得到的不等式与原不等式同向.由性质3很容易得出 推论1：如果,那么.（移向法则） 综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法. 由因导果：顺推法 思考3：根据前面已经证明过的不等式还能得到哪些推论呢？用综合法试一下吧. 推论2：如果,那么.（同向不等式可加） 证明：根据性质1有 根据性质4可知 推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 推论3：如果,那么.（同向正数可乘） 证明：根据性质2有 根据性质4可知 推论3可以推广为更一般的结论：有限个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向. 推论4：如果那么.（） 证明： 根据推论3可知 推论5：如果那么. 证明：假设,即或, 根据推论4和二次根式的性质可知或. 这与矛盾，因此假设不成立，从而 反证法:首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法.反证法是一种间接证明的方法. 例2 （1）已知,求证：; （2）已知,求证：; （3）已知,求证：. 证明： （1）因为,所以 根据推论2得 （2）因为,所以 又因为,所以, 即，因此 （3）因为，根据（2）的结论，得 又因为