精品解析：四川省绵阳南山中学2023届高三下学期入学考试数学（理）试题

绵阳南山中学高2020级高三下期入学考试 数学试题（理工类） （时间：120分钟分数：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并把对应的准考证号用2B铅笔涂黑. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上. 第I卷（选择题，共60分） 一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A B. C. D. 2. 某游泳馆统计了10天内某小区居民每日到该游泳馆锻炼的人数，整理数据，得到如下所示的折线图. 则根据此折线图，下面结论正确的是（ ） A. 这10天内，每日游泳人数的极差大于106 B. 这10天内，每日游泳人数的平均值大于135 C. 这10天内，每日游泳人数中位数大于145 D. 前5天每日游泳人数的方差小于后5天每日游泳人数的方差 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 中国的计量单位可追溯到4000多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖，不计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为2000立方厘米，则其高约为（ ）（单位：厘米） A 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ） A. 350 B. 295 C. 285 D. 230 8. 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 9. 将函数的图象向左平移个长度单位，得函数图象，则以下结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 10. 4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（    ） A. 288 B. 336 C. 368 D. 412 11. 如图所示，点F是椭圆的右焦点，A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，若，则椭圆M的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，，，则大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共90分） 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，，若，且，则实数_______. 14. 已知，是双曲线C：的两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点M，则的面积为______． 15. 从正四面体的顶点及其棱的中点共10个点中，任取3个点，则这三个点构成的三角形为等边三角形的概率为____________． 16. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，是边长为的等边三角形，的面积为，则球的体积为______． 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（本大题共5个小题，共60分.） 17. 已知数列，为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，，求的值. 18. 在中，角，，的对边分别是，，，且满足． （1）求； （2）若，是边上的高，求的最大值． 19. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D为线段AB的中点，，，，三棱锥的体积为8． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 20. 已知抛物线的焦点到准线的距离为1． （1）求抛物线标准方程； （2）设点是该抛物线上一定点，过点作圆（其中）的两条切线分别交抛物线于点，连接．探究：直线是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由． 21. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且（为自然对数底数，且），求的取值范围． （二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分