第八节 抛物线的简单几何性质题型讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第八节 抛物线的简单几何性质 知识清单 1．抛物线中焦点弦的几个结论 如图，过焦点的直线与抛物线交于两点 ( x y O F A B M N θ ) （1），，，，； （2），，，， ，其中为直线的倾斜角，注意的运用； （3）； （4）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （5）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上； （6）三点共线，三点共线． 2．抛物线中的点差法 已知直线与交于两点，中点 将两点代入抛物线方程，， ，即． 结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：； 结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）； 结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：． 3．直线与抛物线的位置关系 已知直线（不能表示平行于轴直线）与抛物线． 联立直线方程与抛物线方程 （1）若，则直线与抛物线相离，没有交点； （2）若，直线与抛物线相切，有且仅有一个交点； 注意：平行于轴的直线与抛物线也只有一个交点． （3）若，直线与抛物线相交，有两个交点． 设直线与抛物线交于两点． ①， ②弦长 （4）若抛物线方程为，可设直线方程为进行联立． （5）已知抛物线上两点 则直线的方程可设为： 题型训练 题型一 抛物线性质的运用 1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若， 则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 3．设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（　 ） A．2 B． C．3 D． 4．已知是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的面积为， 则等于（　　） A． B． C． D． 5．设为坐标原点，直线与抛物线：交于两点，若，则 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若，则点的横坐标是　 　；的面积为　 　 7．平面直角坐标系中，已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线恰好经过四个点，，，中的两个，则该抛物线的焦点坐标可以是　 　（写出一个即可） 8．已知边长为1的等边三角形，为坐标原点，在第一象限，轴，以为顶点且过的抛物线方程是 9．已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为 10．已知椭圆的左、右焦点为，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是　 　 题型二 抛物线的焦半径与焦点弦 11．设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，则（ ） A． B．6 C．12 D．24 12．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点，则的值等于（　　） A． B． C． D． 13．若抛物线的焦点坐标为，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则弦的中点到轴的距离为（　　） A． B．2 C．3 D．4 14．过抛物线：的焦点的直线交于两点，若，则（ ） A．3 B．2 C． D．1 15．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 16．已知抛物线：的焦点为，过倾斜角为的直线与交于两点，且，则　 　 17．斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，则　 　 18．已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，且，则　　 19．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，过分别作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为　 　 20．已知抛物线焦点为，过点分别作斜率为，两条直线，直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，且满足，则的最小值为 题型三 抛物线中的点差法与中点弦 21．已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 22．已知抛物线，的三个顶点都在抛物线上，设线段的中点的纵坐标分别为．若直线的斜率之和为，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 23．若抛物线上两点，关于直线对称，且，则实数的值为（　　） A． B．3 C．2 D． 24．过抛物线的焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 25．已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 26．已知抛物线与直线交于两点，若线段的中点为，则直线的方 程为 27．已知是过抛物线的焦点的弦，若，则的中点的纵坐标为　　 28．已知为抛物线上异于原点的两