第六节 直线与双曲线题型讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第六节 直线与双曲线 知识清单 1．双曲线中的点差法 （1）如图，直线与双曲线交于两点，为弦的中点． ( x y O F 1 F 2 M A B ) 设，，． 结论①：双曲线上任意两点的纵坐标平方差与横坐标平方差之比为定值，即； 结论②：在双曲线中，弦中点，弦所在直线的斜率与的关系式为：； 结论③：在双曲线中，弦所在直线的斜率和弦中点与原点连线斜率之积为定值，即；（2）如图，是双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上异于的点． ( x y O A B P ) 设，，，且的斜率均存在 易知，，由结论①可知： 结论④：双曲线上关于原点对称的两点与双曲线上第三点连线的斜率之乘积为定值， 即． 2．直线与双曲线的位置关系 已知直线与双曲线． 联立直线方程与双曲线方程 当，即时，直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线只有一个交点． 当时， （1）若，则直线与双曲线相离，没有交点； （2）若，直线与双曲线相切，有且仅有一个交点； （3）若，直线与双曲线相交，有两个交点． 设直线与双曲线交于两点． ，或 （消时用） （4）对于过定点的直线，可考虑与渐近线斜率的大小关系，数形结合进行判断． 3．一些常见结论 （1）双曲线焦点到其渐近线的距离等于； （2）与双曲线共渐近线的双曲线的方程可设为； （3）若在双曲线上，则过的切线方程为； （4）若在双曲线外，过做双曲线的两条切线，切点弦的 方程为． 题型训练 题型一 直线与双曲线的位置关系 1．已知双曲线方程为，过的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线的条数共有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 2．过点且与双曲线没有交点的直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知双曲线，直线与双曲线只有一个交点，若直线过点，这样的直线 有 条，若直线过点，这样的直线有 条 4．直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是 5．已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 6．记双曲线C：的离心率为e，则满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为　 　 （写出一个即可） 题型二 点差法与中点弦 7．设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（　 　） A． B． C． D． 8．过点的直线与双曲线相交于两点，若为线段中点，则直线的方程为 9．已知双曲线，直线与双曲线交于两点，若为线段的中点，则双曲线的离心率为 10．已知直线与双曲线相交于两点，为双曲线上不同于的点，当直线的斜率存在时，则 题型三 弦长问题 11．已知在双曲线上，线段的中点为，则（　　） A． B． C． D． 12．已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则 13．已知双曲线的两个焦点为，且点在曲线C上． （1）求双曲线C的方程； （2）记O为坐标原点，过点的直线与双曲线C相交于不同的两点，若弦长，求直线l的方程． 14．已知点在双曲线C：上，直线交C于两点，直线的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的长度． 综合训练 1．已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是． （1）证明：为常数； （2）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程． 2．已知双曲线C：的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，． （1）求的离心率； （2）若在第一象限，证明：． 3．已知点，动点满足条件．记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值． 4．已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上． 5．已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率． （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交于两点，求的面积． 6．已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）过的直线与的两条渐近线分别交于两点，点在上，且．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①在上；②；③． 第六节 直线与双曲线 题型一 直线与双曲线的位置关系 1-2 B，B 3．4，2 4． 5． 6．的值均可 题型二 点差法与中点弦 7．D 8． 9． 10． 题型三 弦长问题 11．D 12．