第五节 双曲线的简单几何性质题型讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第五节 双曲线的简单几何性质 知识清单 双曲线中的焦点三角形与焦半径 ( x y O F 1 F 2 M θ α β ) 在焦点三角形中，设，，，在右支上 1．焦点三角形 ①，当在轴上时，最小，最小值为； ②； ③； ④内切圆的圆心在直线上． 2．焦半径 ①焦半径的最小值为，的最小值为，； ②已知是双曲线上任一点，点到左焦点对应的左准线的距离为，点到右焦点对应的右准线的距离为，则有．（双曲线的第二定义） 则焦半径；（注意椭圆的焦半径没有绝对值符号，双曲线有） ③已知过焦点的的直线与双曲线交于两点，为直线的倾斜角，（焦准距） 若在同一支，焦半径为：（通过长短判断），焦点弦 若在两支，焦半径为：（通过长短判断），焦点弦 题型训练 题型一 双曲线的焦半径与焦点三角形 1．设为双曲线上的一点且位在第一象限．若为此双曲线的两个焦点， 且，则的周长等于（　　） A．22 B．16 C．14 D．12 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上一点满足， 则的面积为（　　） A． B．9 C．18 D．16 3．已知双曲线的两个焦点分别为，为双曲线上一点，且， 则　 　，　　 4．已知为双曲线C：的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为　 　 题型二 双曲线性质的运用 5．在中，，点在双曲线上，则（　C　） A． B． C． D． 6．若实数满足，则曲线与曲线的（D　　） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 7．（多选）已知双曲线方程为，则（　BD　） A．实轴长为 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 8．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 题型三 双曲线的渐近线 9．点（3，0）到双曲线的一条渐近线的距离为（　　） A． B． C． D． 10．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 11．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的一条渐近线与 圆相切，则双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 12．双曲线C：的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点．若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 13．已知双曲线C：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形，则（　　） A． B．3 C． D．4 14．已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 15．已知双曲线的渐近线方程为，则　 　 16．若双曲线的渐近线与圆相切，则　 　 题型四 求双曲线的离心率 17．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1垂直，则它的离心率为（ ） A．5 B． C． D． 18．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 19．已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，顶角为， 则的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 20．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2， 则的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 21．已知为双曲线的右焦点，若圆上恰有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 22．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点．若，则的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 23．设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 24．已知双曲线的左右焦点分别为，以（为坐标原点）为直径的圆与双曲线交于两点，若与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 25．已知为双曲线的右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点，若在双曲线左支上存在点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 26．（多选）双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 27．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若，则的离心率为　 　 28．已知双曲线的右焦点分别为，以为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为，且轴，则双曲线的离心率为