第三节 直线与椭圆题型讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三节 直线与椭圆 知识清单 1．椭圆中的点差法 （1）如图，直线与椭圆交于两点，为弦的中点． ( A B M x y O ) 设，，，将代入椭圆方程 ，化简可得： 结论①：椭圆上任意两点的纵坐标平方差与横坐标平方差之比为定值，即． （2）由且，， 由结论①可得： 结论②：在椭圆中，弦中点，弦所在直线的斜率与的关系式为：． （3）易知，由 结论③：在椭圆中，弦所在直线的斜率和弦中点与原点连线斜率之积为定值，即． 注意：以上结论只适用于焦点在轴上的椭圆，对于焦点在轴上的椭圆，只需位置互换即可 （4）如图，是椭圆上关于原点对称的两点，为椭圆上异于的点． ( A B x y P ) 设，，，且的斜率均存在 易知，， 有结论①可知：（常考为长短轴端点） 结论④：椭圆上关于原点对称的两点与椭圆上第三点连线的斜率之乘积为定值，即． （5）如图，点为椭圆上的点（不在轴上），直线为椭圆在点处的切线． ( x y P ) 在结论②中，当直线向外移动到与椭圆相切时，可理解为中点变成切点 （可通过联立方程组，由得证）直线： 化简可得：（切线斜率不存在时也满足该方程） 结论⑤：椭圆上一点处的切线方程为，斜率（存在时）． 结论⑥：过椭圆外一点引椭圆的两条切线，切点弦的方程为． 结论⑥可通过结论⑤结合直线系进行证明 2．点与椭圆的位置关系 （1）在椭圆内 （2）在椭圆上 （3）在椭圆外 3．直线与椭圆的位置关系 已知直线与椭圆． 联立直线方程与椭圆方程 （1）若，则直线与椭圆相离； （2）若，则直线与椭圆相切； 椭圆上一点处的切线方程为． （3）若，则直线与椭圆相交． 设直线与椭圆交于两点． ①，； ②，； ③； ④弦长， （消时用） 题型训练 题型一 直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2．若直线与椭圆相切，则直线的斜率（　　） A． B． C． D． 3．已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（　　） A． B． C． D． 4．若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二 点差法与中点弦问题 5．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（　　） A． B． C． D． 6．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标为，则椭圆的离心率是（　　） A． B． C． D． 7．中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦中点横坐标为，则椭圆 方程为（　　） A． B． C． D． 8．已知是椭圆的任意一条与轴不垂直的弦，是椭圆的中心，为椭圆的离心率，为的中点，则（　　） A． B． C． D． 9．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为　 　 10．已知椭圆截直线所得线段的中点坐标为，则l的方程为　 11．椭圆上点处的切线方程为　 12．过引椭圆的两条切线，切点分别为，则所在直线方程为 13．已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为． 证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值． 14．已知椭圆． （1）求过点且被点平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的直线与椭圆相交所得的弦的中点的轨迹； （3）过点引直线与椭圆交于两点，求截得的弦中点的轨迹方程． 题型三 弦长问题 15．直线与椭圆相交于两点，则 16．直线与椭圆相交于两点，若，则 17．直线与椭圆相交于两点，若，则 18．过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，若， 则直线的斜率 19．已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为． （1）求椭圆E的方程； （2）若直线l过点且与椭圆E交于两点，求的最大值． 20．已知椭圆的右焦点为，且经过点，点M为轴上一点，过M点的直线与椭圆交于两点（点在轴上方）． （1）求椭圆的方程； （2）若，且直线与圆相切于点，求的长． 题型四 面积问题 ①三角形面积主要用“”进行计算，底一般是弦长，高一般是点到直线的距离； ②一些三角形以及多边形可以采用“割补法”进行求面积． 21．已知椭圆C的中心在原点，左焦点为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆C相交于两点， 求的面积． 22．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程． 23．已知椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于两个不