第二节 椭圆的简单几何性质讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二节 椭圆的简单几何性质 知识清单 椭圆中的焦点三角形与焦半径 ( x y O F 1 F 2 M N ) ( θ ) ( α ) ( β ) 在焦点三角形中，设，，， 1．焦点三角形 （1）的周长为； （2）的周长为； （3）； （4）当为椭圆上顶点时，最大，最大，最大； （5）． 2．焦半径（椭圆上一点到焦点的距离） （1）焦半径最大值为，最小值为，最大值为，最小值为； （2）已知是椭圆上任一点，点到左焦点对应的左准线的距离为，点到右焦点对应的右准线的距离为，则有．（椭圆的第二定义） 则焦半径； （3）已知过焦点的直线与椭圆交于两点，为直线的倾斜角，为焦准距，即 则焦半径的公式为：（通过长短判断），焦点弦． 题型训练 题型一 椭圆的焦半径与焦点三角形 1．若椭圆的右焦点为F，P是椭圆上一点，若P到F的距离的最大值为5，最小值为3，则该椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 2．设分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆上一点，且， 则的面积为（　　） A．24 B．25 C．30 D．48 3．点P是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 4．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（　　） A．13 B．12 C．9 D．6 5．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．不确定 6．椭圆的左、右焦点分别为，为过椭圆左焦点的的一条弦，则的周长是 ，的周长是 7．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为　 　 8．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，是面积为的等边三角形，则= 题型二 椭圆性质的运用 9．椭圆的长轴长为（ ） A． B． C．2 D． 10．焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆标准方程为（ ） A． B． C． D． 11．若椭圆的长轴比短轴长2，则该椭圆的焦距为 12．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若线段的中点在轴上， 则长度为 题型三 求椭圆的离心率 13．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 14．已知是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 15．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 16．已知是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 17．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为 18．已知椭圆的离心率为，则的值为 19．已知椭圆的右焦点为，若满足，则该椭圆的 离心率为 ，若满足，则该椭圆的离心率为 20．过椭圆的左焦点作轴的垂线，交椭圆于点，为椭圆的右焦点，若,则椭圆的离心率为 21．设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 22．已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，且，则椭圆的离心率为 23．已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 　 24．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点且垂直于轴的直线交于两点，若，则椭圆的离心率为 25．已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若为等腰直角三角形，且，则C的离心率为 26．已知椭圆的左焦点分别为，轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为 题型四 求椭圆离心率的取值范围 27．已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点满足， 则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 28．已知椭圆与圆，若椭圆上存在点，使得点向圆所作的两条切线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 29．已知椭圆的左右焦点分别为，若直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 30．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率为的取值范围是 题型五 点与椭圆 31．已知是