第一节 椭圆及其标准方程题型讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一节 椭圆及其标准方程 知识清单 1．椭圆的定义 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 2．椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 图象 ( x y O F 1 F 2 M ) ( x y O F 1 F 2 M ) 范围 焦点 焦距 顶点 左右顶点 上下顶点 左右顶点 上下顶点 长轴、短轴 长轴，短轴 对称性 原点，轴，轴 离心率 通径 （过焦点且垂直于轴的弦） 准线方程 题型训练 题型一 椭圆的定义 1．已知在平面内，是两个定点，是一个动点，则“为定值”是“点M的轨迹是以为焦点的椭圆”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知动点满足，则动点的轨迹是（　　） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 3．已知动点满足，则动点的轨迹是（　　） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 4．（多选）已知在平面坐标系中，点，，点为一动点，且， 则下列说法正确的是（　　） A．当时，点的轨迹不存在 B．当时，点的轨迹是椭圆 C．当时，点的轨迹是圆 D．当时，点的轨迹是线段 题型二 椭圆标准方程的理解 5．若椭圆的一个焦点为，则的值为（　　） A．5 B．25 C．3 D．9 6．（多选）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（　　） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 7．已知椭圆，则它的焦距 8．若椭圆的一个焦点是，则 9．如果表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 10．已知椭圆的焦距是2，则 题型三 求椭圆的标准方程 11．已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 12．过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（　　） A． B． C． D． 13．已知椭圆过点和，则此椭圆的标准方程是 14．已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直轴的直线交于两点，且，则的标准方程为　 题型四 椭圆相关的轨迹方程（定义法，相关点法，直接法） 15．已知的周长为，两点的坐标分别为与，则顶点的轨迹 方程为 16．已知两圆，，动圆在圆内部且与圆相内切，与圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为 17．已知动圆经过点，并且与圆相内切，求动圆圆心点的轨迹 方程为 18．已知动点M在圆上，垂直于轴，垂足为，点为线段的中点， 则点的轨迹方程为 19．设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点轨迹方程为 20．已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为 综合训练 1．是椭圆上一点，是该椭圆的两个焦点，且，则（　　） A．1 B．3 C．5 D．9 2．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点M的坐标为， 则的最大值为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 3．已知动点P在圆上，点是点在轴上的投影，且有，则点轨迹方程为 4．已知方程，表示焦点在轴的椭圆，则的取值范围是　 　 5．已知为坐标原点，圆，定点，点是圆上一动点， 线段的垂直平分线交圆的半径于点，则点的轨迹方程为 6．已知为椭圆的左右焦点，点为椭圆上异于左右顶点的动点，则三角形重心的轨迹方程为 7．在直角坐标系中，长为的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点在线段上，且有，则点的轨迹方程为 8．（1）在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，点 在上，求的方程； （2）已知点，直线，动点满足到点的距离与到直线的距离之比为， 求动点的轨迹的方程． 第一节 椭圆及其标准方程参考答案 题型一 椭圆的定义 1-3 BCA 4． ABD 题型二 椭圆标准方程的理解 5．C 6．CD 7．1 8．1 9．或 10