4.2一次函数与正比例函数教学设计 2023-2024学年北师大版数学八年级上册

4.2 一次函数与正比例函数 一、教学目标 1. 结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式. 2. 能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系. 3. 能利用一次函数解决简单的实际问题. 二、教学重难点 重点:理解一次函数和正比例函数的概念. 难点:能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力. 三、教法与学法 教法:通过从具体实例归纳总结出一次函数和正比例函数的概念,写出简单的一次函数表达式. 学法:互动讨论,积极与同伴交流自己的想法,最后把教师讲解的要点归纳总结. 四、教学过程 (一)复习回顾 1.什么是函数? 2.函数有哪些表示法? (二)问题探究 问题1:某弹簧的自然长度为3cm,在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1 kg,2 kg,3 kg,4 kg,5 kg时弹簧的长度,并填入下表: x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm (2)你能写出y与x之间的关系式吗? 解: (1) (2)y与x之间的关系式为:y=3+0.5x. 问题2:某辆汽车油箱有汽油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L. (1)完成下表: (2)你能写出y与x之间的关系式吗? y=0.12x (3) 你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗? z = 60-0.12x (三)概念解析 研讨以下两个函数关系式: (1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60. 它们的结构有什么特点? 1.都是含有两个变量x,y的等式. 2.x和y的指数都是一次. 3.自变量x的系数都不为0. 一次函数的概念:若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量). 正比例函数的概念:一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,当b=0时,称y是x的正比例函数. 等号的左边只有一个因变量,等号的右边是含自变量的一次代数式,可能是一次二项式,也可能是一次单项式.如果是一次二项式,则这个表达式是一次函数的表达式,如果是一次单项式,则是正比例函数的表达式. (四)典例解析 例1:写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y km与行驶时间x h之间的关系; (2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系; (3)某水池有水15m3,现打开进水管进水,进水速度为5m3/h,x h后这个水池有水y m3. 解析:列y与x之间的函数关系式,与列方程解应用题的思想相同,关键是找出问题中的相等关系.(1)小题是行程问题,相应量的关系是路程=速度×时间;(2)小题是圆的面积的计算问题,相应量的关系是圆的面积公式:(3)小题是一般的实际问题. 解:(1)由路程=速度×时间,得y=60x ,y是x的一次函数,也是x的正比例函数. (2)由圆的面积公式,得y=πx2, y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数. (3)这个水池每时增加5m3水,x h增加5x m3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数. 例2:自2019年1月1日起,我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过800元的,预扣预缴税款为0;每次收入超过800元但不超过4000元的,预扣预缴税款=(每次收入-800)×20%……如某人取得劳务报酬2000元,他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20%=240(元). (1)当每次收入超过800元但不超过4000元时,写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y(元)与每次收入x(元)之间的关系式; (2)某人某次取得劳务报酬3 500元,他这笔所得应预扣预缴税款多少元? (3)如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元,那么此人这次取得的劳务报酬是多少元? 解:(1)当每次收入超过800元但不超过4 000元时, y=(x-800)×20%,即y=0.2x-160; (2)当x=3500时,y=0.2×3500-160=540(元); (3)因为(4 000-800)×20%=640(元),600<640,所以此人这次取得的劳务报酬不超过4 000元. 设此人这次取得的劳务报酬是x元,则 600=0.2x-160,解得x=3800. 所以此人这次取得的劳务报酬是3800元. (五)课堂演练 1.下列关系式中,哪些是一次函数,哪些是正比例函数? (1)y=-x-4; (2)y=5x2-6; (3)y=2πx; (4) y=-x; (5) y= ; (6)y=8x2+x(1-8x); (7)y=kx