1.2一定是直角三角形吗教学设计 2023-2024学年北师大版数学八年级上册

1.2一定是直角三角形吗 一、教学目标 1.经历勾股定理的逆定理的探索过程,进一步发展推理能力; 2. 掌握勾股定理的逆定理,并能进行简单应用; 3.理解勾股数的定义,探索常用勾股数的规律. 二、教学重难点 重点:会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形. 难点:理解并掌握勾股定理的逆定理. 三、教学过程 (一)情境导入 据说,古埃及人曾用如图所示的方法画直角. 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第1个结处. (二)自主探究 做一做 以下列三组数中的三个长度为边也能组成直角三角形吗?请画出这样的三角形(为了方便作图,可按比例缩小). ① 5,12,13; ② 7,24,25; ③ 8,15,17. 问题1:用量角器量一量,它们都是直角三角形吗? 问题2:这三组数在数量关系上有什么相同点? 问题3:古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗? 问题4:据此你有什么猜想呢? 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. (三)结论证明 已知:如图,在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且a2+b2=c2. 求证:∠C=90°. 证明:作△A1B1C1 ,使∠C1=90°,B1C1=a,C1A1=b, 在Rt△A1B1C1中,由勾股定理得A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2 ∵a2+b2=c2 ∴A1B1 =c, ∴AB=A1B1 ∴ △ABC ≌△A1B1C1 (SSS) ∴∠C=∠C1=90°. 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2,那么这个三角形是直角三角形. 符号语言: 在△ABC中,a2 + b2 = c2 ∴△ABC是直角三角形. 注意:勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,最长边所对的角为直角. 勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反. 勾股数: 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数. 常见勾股数: 3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25;8,15,17;9,40,41;10,24,26等等. 勾股数拓展性质: 一组勾股数,都扩大相同倍数k(k为正整数),得到一组新数,这组数同样是勾股数. (四)典例解析 例1:已知△ABC,AB=n²-1,BC=2n,AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗?若是,哪一条边所对的角是直角? 解:∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC², ∴△ABC直角三角形,边AC所对的角是直角. 例2:若三角形ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状. 解:∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0. 即 (a-3)²+ (b-4)²+ (c-5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2. ∴△ABC直角三角形. 例3:一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图(右)所示,这个零件符合要求吗? 解:在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2, 所以△ABD是直角三角形,∠A是直角. 在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2, 所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求. (五)课堂演练 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3,4,7 B.5,12,13 C.1.5,2,2.5 D.1,3,5 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 3.若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5,试判断△ABC的形状. 4.如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,已知AD=3 cm,AB=4 cm,CD=12 cm,BC=13 cm,求四边形ABCD 的面积. 5.如图,在四边形ABCD中,AC⊥DC,△ADC的面积为30 cm2,DC=12 cm,AB=3 cm,BC=4 cm,求△ABC的面积